Сколько слагаемых с отрицательным знаком может быть в результате разложения выражения (a+b+c+d)^2 после замены

Игоревич_3782

43

Рассмотрим выражение \((a+b+c+d)^2\) и попытаемся разложить его по формуле квадрата суммы двух слагаемых:

\((a+b+c+d)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + 2ad + b^2 + 2bc + 2bd + c^2 + 2cd + d^2\)

Здесь нам необходимо заменить некоторые переменные на знак "-" и суммировать подобные слагаемые. Но перед этим давайте рассмотрим, какие могут быть комбинации замен переменных на знак "-".

Пусть у нас есть 4 переменных \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), и каждую переменную мы можем заменить на знак "-" или оставить без замены. Таким образом, количество возможных комбинаций замен будет равно \(2^4 = 16\).

Рассмотрим каждую комбинацию отдельно:

1. Все переменные оставляем без замены.
В этом случае все слагаемые будут иметь положительные знаки.

2. Заменяем только переменную \(a\) на знак "-".
Получим слагаемые: \(-a^2 - 2ab - 2ac - 2ad\). Четыре слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

3. Заменяем только переменную \(b\) на знак "-".
Получим слагаемые: \(-b^2 - 2ab - 2bc - 2bd\). Четыре слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

4. Заменяем только переменную \(c\) на знак "-".
Получим слагаемые: \(-c^2 - 2ac - 2bc - 2cd\). Четыре слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

5. Заменяем только переменную \(d\) на знак "-".
Получим слагаемые: \(-d^2 - 2ad - 2bd - 2cd\). Четыре слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

6. Заменяем переменные \(a\) и \(b\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(a^2 - 2ac - 2ad + b^2 - 2bc - 2bd\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

7. Заменяем переменные \(a\) и \(c\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(a^2 - 2ab - 2ad + c^2 - 2bc - 2cd\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

8. Заменяем переменные \(a\) и \(d\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(a^2 - 2ab - 2ac + d^2 - 2bc - 2cd\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

9. Заменяем переменные \(b\) и \(c\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(b^2 - 2ab + c^2 - 2bd - 2cd\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

10. Заменяем переменные \(b\) и \(d\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(b^2 - 2ab - 2ac + d^2 - 2cd\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

11. Заменяем переменные \(c\) и \(d\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(c^2 - 2ac - 2bc + d^2 - 2cd\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

12. Заменяем переменные \(a\), \(b\) и \(c\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(a^2 - 2ad + b^2 + 2bd\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

13. Заменяем переменные \(a\), \(b\) и \(d\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(a^2 - 2ac + b^2 - 2bc\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

14. Заменяем переменные \(a\), \(c\) и \(d\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(a^2 - 2ab + c^2 - 2cd\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

15. Заменяем переменные \(b\), \(c\) и \(d\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(b^2 - 2ab + c^2 - 2cd\). Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

16. Заменяем все переменные \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) на знаки "-".
Получим слагаемые: \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2\). Все слагаемые будут иметь положительные знаки.

Таким образом, из приведенного списка комбинаций замен переменных только в шести случаях результатом будут слагаемые с отрицательными знаками. Ответ: \(6\).