Сколько слагаемых с отрицательным знаком может быть в результате разложения выражения (a+b+c+d)^2 после замены

Игоревич_3782

43

Рассмотрим выражение $(a+b+c+d{)}^2$ и попытаемся разложить его по формуле квадрата суммы двух слагаемых:

$(a+b+c+d{)}^2=a^2+2ab+2ac+2ad+b^2+2bc+2bd+c^2+2cd+d^2$

Здесь нам необходимо заменить некоторые переменные на знак "-" и суммировать подобные слагаемые. Но перед этим давайте рассмотрим, какие могут быть комбинации замен переменных на знак "-".

Пусть у нас есть 4 переменных $a$, $b$, $c$ и $d$, и каждую переменную мы можем заменить на знак "-" или оставить без замены. Таким образом, количество возможных комбинаций замен будет равно $2^4=16$.

Рассмотрим каждую комбинацию отдельно:

1. Все переменные оставляем без замены.
В этом случае все слагаемые будут иметь положительные знаки.

2. Заменяем только переменную $a$ на знак "-".
Получим слагаемые: $-a^2-2ab-2ac-2ad$. Четыре слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

3. Заменяем только переменную $b$ на знак "-".
Получим слагаемые: $-b^2-2ab-2bc-2bd$. Четыре слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

4. Заменяем только переменную $c$ на знак "-".
Получим слагаемые: $-c^2-2ac-2bc-2cd$. Четыре слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

5. Заменяем только переменную $d$ на знак "-".
Получим слагаемые: $-d^2-2ad-2bd-2cd$. Четыре слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

6. Заменяем переменные $a$ и $b$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $a^2-2ac-2ad+b^2-2bc-2bd$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

7. Заменяем переменные $a$ и $c$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $a^2-2ab-2ad+c^2-2bc-2cd$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

8. Заменяем переменные $a$ и $d$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $a^2-2ab-2ac+d^2-2bc-2cd$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

9. Заменяем переменные $b$ и $c$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $b^2-2ab+c^2-2bd-2cd$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

10. Заменяем переменные $b$ и $d$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $b^2-2ab-2ac+d^2-2cd$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

11. Заменяем переменные $c$ и $d$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $c^2-2ac-2bc+d^2-2cd$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

12. Заменяем переменные $a$, $b$ и $c$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $a^2-2ad+b^2+2bd$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

13. Заменяем переменные $a$, $b$ и $d$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $a^2-2ac+b^2-2bc$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

14. Заменяем переменные $a$, $c$ и $d$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $a^2-2ab+c^2-2cd$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

15. Заменяем переменные $b$, $c$ и $d$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $b^2-2ab+c^2-2cd$. Два слагаемых будут иметь отрицательные знаки.

16. Заменяем все переменные $a$, $b$, $c$ и $d$ на знаки "-".
Получим слагаемые: $a^2+b^2+c^2+d^2$. Все слагаемые будут иметь положительные знаки.

Таким образом, из приведенного списка комбинаций замен переменных только в шести случаях результатом будут слагаемые с отрицательными знаками. Ответ: $6$.