Какие значения можно найти для переменных x и y, если использовать выражение x(1+i)²+y(-i)²=3+10i?

Сверкающий_Джинн

60

Да, конечно! Давайте разберем эту задачу по шагам.

У нас дано выражение: \(x(1+i)^2 + y(-i)^2 = 3 + 10i\).

Давайте сначала раскроем скобки:

\(x(1+i)^2 = x(1+2i+i^2) = x(1+2i+(-1)) = x(2i)\),

\(y(-i)^2 = y(-i)(-i) = y(i^2) = y(-1) = -y\).

Теперь заменим полученные выражения в изначальном уравнении:

\(x(2i) + (-y) = 3 + 10i\).

Для удобства, разделим это уравнение на 2:

\(xi - \frac{y}{2} = \frac{3}{2} + 5i\).

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} xi - \frac{y}{2} = \frac{3}{2} + 5i \\ x(2i) = 2xi = 3 + 10i \end{cases}\]

Давайте решим второе уравнение относительно x:

\(2xi = 3 + 10i\).

Разделим это уравнение на 2i:

\(x = \frac{3 + 10i}{2i}\).

Для удобства, умножим числитель и знаменатель на -i:

\(x = \frac{(3 + 10i)(-i)}{2i(-i)} = \frac{-3i - 10i^2}{2} = \frac{-10 + 3i}{2}\).

Теперь, подставим это значение x в первое уравнение:

\(\frac{-10 + 3i}{2}i - \frac{y}{2} = \frac{3}{2} + 5i\).

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\(\frac{-10i + 3i^2}{2} - \frac{y}{2} = \frac{3}{2} + 5i\).

Заменим \(i^2\) на -1:

\(\frac{-10i + 3(-1)}{2} - \frac{y}{2} = \frac{3}{2} + 5i\).

Упростим дроби:

\(\frac{-10i -3}{2} - \frac{y}{2} = \frac{3}{2} + 5i\).

Теперь объединим действительные и мнимые части отдельно:

\(- \frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \frac{5i + 10i}{2}\).

Упростим правую часть:

\(- \frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \frac{15i}{2}\).

Мы знаем, что действительная часть равна действительной части, а мнимая часть равна мнимой части. Таким образом, получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} - \frac{3}{2} - \frac{y}{2} = 0 \\ \frac{15}{2} = 0 \end{cases}\]

Первое уравнение говорит нам, что \(-\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = 0\). Решим его:

\(-\frac{y}{2} = \frac{3}{2}\).

Умножим обе части на -2:

\(y = -3\).

Второе уравнение \(\frac{15}{2} = 0\) нам говорит, что такое равенство невозможно, так как число не может быть одновременно ненулевым и равным нулю.

Таким образом, имеем единственное решение для переменной y: \(y = -3\).

Теперь подставим значение y в первое уравнение:

\(-\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{(-3)}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0\).

Таким образом, переменная x не имеет ограничений и может принимать любые значения.

Итак, решение задачи: \(x\) - любое число, \(y = -3\).