Сколько способов можно разделить 25 учащихся класса на две группы, состоящих из 13 и 12 человек соответственно?

Zvezdnaya_Noch

40

Эта задача относится к комбинаторике и решается с использованием понятия сочетания. Для нахождения количества способов разделить 25 учащихся на две группы, состоящие из 13 и 12 человек, нам необходимо вычислить количество сочетаний.

Сочетание - это способ выбрать подмножество элементов из данного множества без учета порядка. Общая формула числа сочетаний записывается следующим образом:

\[{n \choose k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где n - общее количество элементов, k - количество выбираемых элементов, а "! " обозначает факториал числа.

В данной задаче, у нас есть 25 учащихся, и мы должны выбрать 13 человек для одной группы и 12 человек для другой группы.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[{25 \choose 13} = \frac{{25!}}{{13! \cdot (25-13)!}}\]

Вычислим значения факториалов в числителе и знаменателе:

\[{25 \choose 13} = \frac{{25!}}{{13! \cdot 12!}}\]

\[25! = 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!\]

\[13! = 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

\[12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Подставим значения в формулу и просто разрешим все вычисления:

\[{25 \choose 13} = \frac{{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}}{{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

\[{25 \choose 13} = 5200300\]

Таким образом, существует 5,200,300 способов разделить 25 учащихся на две группы, состоящие из 13 и 12 человек соответственно.