Сколько способов можно разделить 25 учащихся класса на две группы, состоящих из 13 и 12 человек соответственно?

Zvezdnaya_Noch

40

Эта задача относится к комбинаторике и решается с использованием понятия сочетания. Для нахождения количества способов разделить 25 учащихся на две группы, состоящие из 13 и 12 человек, нам необходимо вычислить количество сочетаний.

Сочетание - это способ выбрать подмножество элементов из данного множества без учета порядка. Общая формула числа сочетаний записывается следующим образом:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$

где n - общее количество элементов, k - количество выбираемых элементов, а "! " обозначает факториал числа.

В данной задаче, у нас есть 25 учащихся, и мы должны выбрать 13 человек для одной группы и 12 человек для другой группы.

Подставляя значения в формулу, получаем:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{13})=\frac{25!}{13!\cdot (25-13)!}$$

Вычислим значения факториалов в числителе и знаменателе:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{13})=\frac{25!}{13!\cdot 12!}$$

$$25!=25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12!$$

$$13!=13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$

$$12!=12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$

Подставим значения в формулу и просто разрешим все вычисления:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{13})=\frac{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14}{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$$

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{25}{13})=5200300$$

Таким образом, существует 5,200,300 способов разделить 25 учащихся на две группы, состоящие из 13 и 12 человек соответственно.