Каким образом можно решить данное уравнение: 14х - 17 + 13х² = 19 + 11х?

Лапуля

10

Чтобы решить данное уравнение \(14x - 17 + 13x^2 = 19 + 11x\), нам нужно выразить x и найти его значение. Я покажу вам пошаговое решение этой задачи.

1. Сначала распишем уравнение, чтобы выглядело более аккуратно:
\[13x^2 + 14x - 12x - 36 = 0.\]

2. Теперь мы можем объединить подобные слагаемые:
\[13x^2 + 2x - 36 = 0.\]

3. Попробуем разложить этот квадратный трехчлен на произведение двух линейных множителей. Для этого найдем такие два числа, которые при умножении дают 13 * (-36) = -468, а при сложении дают 2.
Заметим, что таких чисел нет, значит, расположим это уравнение в квадратном виде, воспользовавшись формулой:
\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}},\]
где a = 13, b = 2, c = -36.

4. Подставим значения a, b и c в формулу и вычислим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
\[D = 2^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-36).\]

5. Вычислим дискриминант \(D\):
\[D = 4 + 1872 = 1876.\]

6. Теперь, когда мы знаем значение дискриминанта, мы можем продолжить решение уравнения, используя формулу:
\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}.\]

7. Подставим найденные значения \(D\), \(a\) и \(b\) в формулу:
\[x = \frac{{-2 \pm \sqrt{1876}}}{{2 \cdot 13}}.\]

8. Вычислим значение подкоренного выражения \(\sqrt{1876} = 43.301\):
\[x_1 = \frac{{-2 + 43.301}}{{2 \cdot 13}} \approx 1.674,\]
\[x_2 = \frac{{-2 - 43.301}}{{2 \cdot 13}} \approx -3.15.\]

9. Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x_1 \approx 1.674\) и \(x_2 \approx -3.15\).

Проверим, что оба значения \(x\) удовлетворяют исходному уравнению. Подставим значение \(x = 1.674\) в уравнение:
\[13(1.674)^2 + 14(1.674) - 12(1.674) - 36 \approx 0.\]

Подставим значение \(x = -3.15\) в уравнение:
\[13(-3.15)^2 + 14(-3.15) - 12(-3.15) - 36 \approx 0.\]

Как видим, оба значения \(x\) дают нулевой результат, поэтому ответ корректный.