Из урны, в которой находятся 5 белых и 5 черных шаров, наудачу вынимают 6 шаров. Необходимо найти вероятность того

Barbos

61

Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой и принципом суммы вероятностей.

Первым шагом определим общее количество возможных исходов, т.е. количество способов выбрать 6 шаров из 10. Для этого воспользуемся формулой сочетаний:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( C_n^k \) - число сочетаний из n по k, n! - факториал числа n (произведение всех натуральных чисел от 1 до n), k! - факториал числа k, (n-k)! - факториал числа (n-k).

В нашем случае n = 10 (общее количество шаров в урне), k = 6 (количество шаров, которые мы вынимаем).

\[ C_{10}^6 = \frac{10!}{6!(10-6)!} \]

Вычислим это значение:

\[ C_{10}^6 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Таким образом, общее количество возможных исходов равно 210.

Далее, определим количество благоприятных исходов, т.е. количество способов выбрать 3 черных и 3 белых шара.

Количество способов выбрать 3 черных шара из 5 можно вычислить таким же образом, как мы посчитали сочетания:

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Аналогично, количество способов выбрать 3 белых шара из 5:

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно \(C_5^3 \cdot C_5^3 = 10 \cdot 10 = 100\).

И, наконец, вычислим вероятность того, что среди вынутых шаров будет одинаковое количество черных и белых шаров. Для этого поделим количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

\[ P = \frac{\text{кол-во благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможных исходов}} = \frac{100}{210} \approx 0.476 \]

Таким образом, вероятность того, что среди вынутых шаров будет одинаковое количество черных и белых шаров, равна примерно 0.476 или около 47.6%.