Сколько способов существует рассадить 30 человек по 10 человек в каждом из первых трех вагонов?

Vulkan

43

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться комбинаторикой и применить принцип умножения.

Нам нужно рассадить 30 человек по 10 человек в каждом из первых трех вагонов.

1. В первом вагоне мы выбираем 10 человек из 30. Количество способов выбрать 10 человек из 30 равно:

\[\binom{30}{10} = \frac{30!}{10! \cdot (30-10)!}\]

2. Во втором вагоне мы выбираем следующие 10 человек из оставшихся 20. Количество способов выбрать 10 человек из 20 равно:

\[\binom{20}{10} = \frac{20!}{10! \cdot (20-10)!}\]

3. В третьем вагоне мы автоматически размещаем оставшиеся 10 человек. Поскольку осталось только 10 человек, способов разместить их нет, так как все они уже определены.

Итак, применяя принцип умножения, мы находим общее количество способов рассадить 30 человек по 10 человек в каждом из первых трех вагонов:

\[\binom{30}{10} \cdot \binom{20}{10} \cdot 1\]

Расчитываем значение:

\[
\begin{align*}
\binom{30}{10} &= \frac{30!}{10! \cdot (30-10)!} \\
&= \frac{30!}{10! \cdot 20!} \\
&= \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&= 30,045
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\binom{20}{10} &= \frac{20!}{10! \cdot (20-10)!} \\
&= \frac{20!}{10! \cdot 10!} \\
&= \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&= 184,756
\end{align*}
\]

Итого, количество способов рассадить 30 человек по 10 человек в каждом из первых трех вагонов равно:

\[30,045 \cdot 184,756 \cdot 1 = 5,541,024,420\]

Таким образом, существует 5,541,024,420 способов рассадить 30 человек по 10 человек в каждом из первых трех вагонов.