Сколько способов выбрать 8 карт из стопки, которая содержит 10 черных карт и 8 красных, так что среди них будет

Олег

17

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и применить так называемое сочетание.

Сочетание - это способ выбрать объекты без учета порядка. Формула для вычисления сочетаний выглядит следующим образом:

\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Где \(n\) — общее количество объектов, а \(k\) — количество объектов, которые мы выбираем.

В данной задаче нам нужно выбрать 8 карт из общего количества 18 карт (10 черных и 8 красных) так, чтобы 5 из них были черного цвета.

Следовательно, мы должны выбрать 5 черных карт из 10 доступных черных карт и 3 карты из оставшихся 8 красных карт.

Мы можем использовать формулу сочетаний, чтобы рассчитать количество способов выбрать 5 черных карт из 10 и 3 красных карты из 8:

\[C_{10}^5 \cdot C_8^3 = \frac{{10!}}{{5!(10-5)!}} \cdot \frac{{8!}}{{3!(8-3)!}}\]

Теперь мы можем вычислить это значение:

\(\frac{{10!}}{{5!(10-5)!}} = \frac{{10!}}{{5! \cdot 5!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{30,240}}{{120}} = 252\)

\(\frac{{8!}}{{3!(8-3)!}} = \frac{{8!}}{{3! \cdot 5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{336}}{{6}} = 56\)

Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать 8 карт из стопки, удовлетворяющих условиям задачи, мы умножим значения сочетаний:

\(252 \cdot 56 = 14,112\)

Таким образом, существует 14,112 способов выбрать 8 карт из данной стопки так, чтобы ровно 5 из них были черными.