Сколько станций потребуется построить для того, чтобы удовлетворить требованиям построения метро по указанию короля

Delfin_2285

22

Для решения данной задачи, важно провести несколько логических рассуждений.

1. Для начала, давайте рассмотрим требование, что каждая из 100 линий должна пересекаться с другой только на одной общей станции. Представим себе две такие линии A и B. Допустим, они имеют общую станцию X. Тогда добавим третью линию C. В соответствии с требованием станции X должна пересекаться с линией C. Также, в соответствии с требованием о пересечении каждой линии только с одной общей станцией, линии A и B не должны пересекаться никаким образом кроме станции X. Поэтому, добавим станции Y и Z для линий A и B соответственно. Теперь линия C должна пересекаться и с линией A, и с линией B, в соответствии с требованиями задачи.

2. Второе требование указывает, что три линии должны сходиться на одной станции. Допустим, у нас есть линии D, E и F, которые должны сходиться на одной станции Q. Тогда, в соответствии с первым требованием, каждая из трех линий должна иметь общую станцию с каждой из других двух линий только на станции Q.

3. И, наконец, третье требование говорит, что на остальных станциях должно быть пересечение двух линий. Представим, что у нас есть станция W, и на ней пересекаются линии G и H. Тогда, согласно требованиям, каждая из этих линий должна иметь только одну общую станцию с другими линиями, и эта станция должна быть станцией W.

Исходя из вышесказанного, мы можем сделать следующие выводы:

- Есть 100 линий метро, и каждая из них должна пересекаться только с одной другой линией на одной общей станции. Это означает, что нам понадобится 99 общих станций для этих линий.
- Три линии должны сходиться на одной станции. Нам понадобится 1 станция для этого требования.
- На остальных станциях должно быть пересечение двух линий. Поскольку у нас 100 линий, и каждая линия должна иметь общую станцию с каждой другой линией, и только одну общую станцию, нам потребуется \( \binom{100}{2} = \frac{100!}{2! \cdot (100-2)!} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950 \) таких станций.

Итак, чтобы удовлетворить требованиям построения метро, нам потребуется построить общую станцию для каждой пары из 99 линий, одну станцию для сходящихся трех линий и 4950 станций для пересечения двух линий.

Таким образом, общее количество станций, которые нам потребуется построить, будет равно:
\[ 99 + 1 + 4950 = 5050 \]