Сколько сторон у многоугольника, из которой вершины исходит 13 диагоналей? Каково общее число диагоналей?

Mango

30

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство многоугольников, которое гласит: каждая вершина многоугольника соединена с остальными вершинами диагоналями.

Последовательно мы можем рассмотреть каждую вершину многоугольника и посчитать, сколько диагоналей исходит из этой вершины. Общее число диагоналей получим, сложив количество диагоналей, исходящих из каждой вершины.

Пусть у нас имеется \(n\)-угольник. Рассматривая каждую вершину по отдельности, мы видим, что из каждой вершины можно провести диагонали к \(n-3\) другим вершинам. Затем мы должны разделить на 2, так как каждая диагональ будет учтена дважды (одна из каждой вершины, которую она соединяет). Поэтому формула для нахождения числа диагоналей в \(n\)-угольнике будет следующей:

\[D = \frac{n(n-3)}{2}\]

Теперь мы можем найти количество сторон \(n\)-угольника, если из него исходит 13 диагоналей. Для этого нам нужно решить уравнение:

\[\frac{n(n-3)}{2} = 13\]

Упростив это уравнение, мы получим квадратное уравнение:

\[n^2 - 3n - 26 = 0\]

Решим это уравнение с помощью квадратного корня или факторизации. Решениями этого уравнения будут \(n = -4\) и \(n = 7\), однако количество сторон многоугольника не может быть отрицательным, поэтому ответом на задачу является многоугольник с \(7\) сторонами.

Таким образом, в многоугольнике с \(7\) сторонами будет \(7\) вершин и \(7(7-3)/2 = 7\) диагоналей. Общее число диагоналей также будет равно числу диагоналей, исходящих из каждой вершины: \(7\) диагоналей.