Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если число его диагоналей в 8 раз больше числа его углов?

Belochka

28

Для начала разберемся, что такое диагональ и угол в многоугольнике.

Диагональ - это отрезок, соединяющий две вершины, не являющиеся соседними. Угол в многоугольнике - это область, заключенная между двумя сторонами, протяженностью от одной вершины до другой.

Итак, у нас есть выпуклый многоугольник. Предположим, что у него n углов. Тогда у этого многоугольника будет n сторон.

Теперь введем вспомогательную переменную d - количество диагоналей в нашем многоугольнике. По условию задачи у нас "число его диагоналей в 8 раз больше числа его углов", что можно записать следующим образом:

d = 8n

Теперь вспомним, что у каждого угла многоугольника, кроме первого и последнего, имеется по одной диагонали. То есть количество диагоналей в многоугольнике будет равно сумме диагоналей для каждого угла. Общее количество диагоналей можно выразить следующим образом:

d = n + (n-2) + (n-4) + ... + 3 + 1

В этой последовательности шаг между каждыми двумя числами составляет 2 (n-2 раза), и она заканчивается на 1.

Теперь нужно приравнять выражения, описывающие количество диагоналей в многоугольнике:

d = 8n = n + (n-2) + (n-4) + ... + 3 + 1

Применим формулу суммы арифметической прогрессии, выразим все через n:

8n = (n + 1) + 2 + ... + (n-4) + (n-2)

8n = (n + (n-2)) * (n/2)

8n = (2n - 2) * (n/2)

16n = 2n^2 - 2n

2n^2 - 18n = 0

n(2n - 18) = 0

Из этого выражения видно, что либо n = 0, либо 2n - 18 = 0. Мы ищем натуральное число n, поэтому рассмотрим второй вариант:

2n - 18 = 0

2n = 18

n = 9

Итак, мы получили, что у нашего выпуклого многоугольника 9 сторон.