Сколько страниц содержит книга, если на ее страницы напечатано 2004 цифры для их нумерации?

Mariya

58

Для решения этой задачи нам потребуется знать, сколько цифр используется для нумерации страниц книги. В стандартной нумерации книг принято использовать только десятичные цифры (от 0 до 9).

Предположим, что все страницы книги нумеруются последовательно от 1 до n, где n - общее количество страниц.

На первой странице можно напечатать только одну цифру (цифру 1).

На второй странице могут быть две цифры (цифры 1 и 0).

На третьей странице могут быть также две цифры (цифры 1 и 1), поскольку для нумерации страницы требуются две цифры.

Таким образом, можно заметить, что количество цифр, необходимых для нумерации n страниц, увеличивается линейно с увеличением номера страницы.

Для нахождения общего количества цифр, мы можем просуммировать количество цифр, необходимых для нумерации каждой страницы от 1 до n.

Найдем такое n, при котором сумма нужных цифр больше или равна 2004.

1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 +... + x >= 2004,

где x - количество страниц.

Чтобы проще решить задачу, найдем формулу для суммирования:

S = (x(x+1))/2,

где S - сумма последовательности чисел от 1 до x.

Теперь нам нужно решить следующее уравнение:

(x(x+1))/2 >= 2004.

Умножим обе стороны на 2:

x(x+1) >= 4008.

Приведем это к виду квадратного уравнения:

x^2 + x - 4008 >= 0.

Теперь нам нужно найти корни этого квадратного уравнения. Для этого мы можем использовать формулу квадратных корней:

x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a).

В нашем случае, a = 1, b = 1 и c = -4008. Подставим значения:

x = (-1 ± sqrt(1 - 4(1)(-4008)))/(2(1)).

x = (-1 ± sqrt(1 + 16032))/2.

x = (-1 ± sqrt(16033))/2.

Очевидно, что x должно быть положительным, поэтому мы выберем положительный корень:

x = (-1 + sqrt(16033))/2.

Вычисляя это уравнение, найдем x ≈ 63.

Таким образом, книга содержит около 63 страниц.

Всего было напечатано 2004 цифры для нумерации этих страниц.