Яка з фігур, що обмежені лініями y=1/2x^2, має меншу площу, ніж фігура, розділена прямою y=x+4?

Svetlyy_Angel

50

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала посмотрим, как выглядят обе фигуры.

Фигура, ограниченная линиями \(y = \frac{1}{2}x^2\), представляет собой параболу, открывающуюся вверх:

\[
y = \frac{1}{2}x^2
\]

Фигура, разделенная прямой \(y = x + 4\), будет иметь две части: одну выше прямой и одну ниже.

Теперь нам нужно определить, какая из фигур имеет меньшую площадь.

Для этого воспользуемся методом подсчета площади.

Площадь фигуры, ограниченной кривой, можно найти путем интегрирования функции, описывающей эту кривую, вдоль оси x.

Для параболы, ограниченной линиями \(y = \frac{1}{2}x^2\), площадь будет равна:

\[
S_1 = \int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{2}x^2 \,dx
\]

где \(x_1\) и \(x_2\) - это точки пересечения параболы с прямой \(y = x + 4\). Найдите точки пересечения, приравнивая уравнения \(y = \frac{1}{2}x^2\) и \(y = x + 4\) друг к другу:

\[
\frac{1}{2}x^2 = x + 4
\]

Перенесем всё в одну сторону:

\[
\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0
\]

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, используя формулу дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где \(a = \frac{1}{2}\), \(b = -1\) и \(c = -4\).

Найдем дискриминант:

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-4) = 1 + 8 = 9
\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

\[
x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2
\]
\[
x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -4
\]

Теперь мы можем рассчитать площадь фигуры, разделенной прямой \(y = x + 4\), используя два интеграла:

\[
S_2 = \int_{-4}^{x_2} (x + 4) \,dx + \int_{x_1}^{2} \left(\frac{1}{2}x^2 - (x + 4) \right) \,dx
\]

Вычислим интегралы:

\[
S_2 = \left[\frac{1}{2}x^2 + 4x \right]_{-4}^{x_2} + \left[\frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 4x \right]_{x_1}^{2}
\]

Теперь подставим значения \(x_1\), \(x_2\) и вычислим эти выражения.

\[
S_2 = \left[\frac{1}{2}x^2 + 4x \right]_{-4}^{-4} + \left[\frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 4x \right]_{2}^{2}
\]

Обратите внимание, что верхний предел интегрирования в первом интеграле равен нижнему пределу интегрирования во втором интеграле. Это связано с тем, что парабола и прямая \(y = x + 4\) пересекаются в точке \(-4\).

Подсчитав значения интегралов, мы сможем определить, какая фигура имеет меньшую площадь.