Сколько существует 22-значных натуральных чисел, в десятичной записи которых есть только цифры 3 и 4, и делятся

Aida

55

Давайте посмотрим на пошаговое решение этой задачи.

Из условия задачи следует, что искомые числа должны состоять только из цифр 3 и 4 и быть кратными 3.

Первым шагом определим, какое количество цифр 3 и 4 должно содержаться в каждом таком числе, чтобы оно делилось на 3 без остатка.

Мы знаем, что сумма цифр числа также должна быть кратной 3. Заметим, что сумма 22-значного числа будет зависеть только от количества цифр 3 и 4 в числе.

Допустим, у нас есть \(x\) цифр 3 и \(y\) цифр 4. Тогда сумма такого числа будет равна \(3x + 4y\). Для того чтобы данное число делилось на 3 без остатка, сумма должна делиться на 3 без остатка, т.е. \(3x + 4y\) должно быть кратно 3.

Заметим, что \(4y\) всегда кратно 3, так как 4 и 3 являются взаимно простыми числами. Следовательно, для того чтобы сумма была кратна 3, необходимо, чтобы \(3x\) также было кратно 3.

Из этого следует, что \(x\) должно быть кратно 3. Пусть \(x = 3z\), где \(z\) - натуральное число.

Теперь представим, что у нас имеется \(x\) цифр 3 и \(y\) цифр 4. Каждая цифра 3 может находиться в одной из \(x\) позиций, аналогично каждая цифра 4 может находиться в одной из \(y\) позиций.

Таким образом, мы можем построить 22-значное число, составленное из \(x\) цифр 3 и \(y\) цифр 4, следующим образом:

1. Выбираем позиции для цифр 3: \(\binom{22}{x}\) - количество способов выбрать \(x\) позиций из 22.
2. Выбираем позиции для цифр 4: \(\binom{22-x}{y}\) - количество способов выбрать \(y\) позиций из оставшихся \(22-x\) позиций.
3. Получаем количество таких чисел: \(\binom{22}{x} \cdot \binom{22-x}{y}\).

Однако, у нас есть дополнительное условие: числа должны состоять только из цифр 3 и 4. Следовательно, нам нужно учитывать только те комбинации, где последовательность цифр имеет правильную структуру, т.е. числа должны начинаться с цифры 3 и заканчиваться на цифру 4.

Подсчитаем количество расположений цифр внутри числа следующим образом:

1. Цифра 3 должна находиться на первой позиции.
2. По оставшимся \(x-1\) позициям размещаем цифры 3.
3. Цифра 4 должна быть на последней позиции.
4. По оставшимся \(y-1\) позициям размещаем цифры 4.

Таким образом, количество чисел в зависимости от \(x\) и \(y\) будет равно:

\[\binom{21}{x-1} \cdot \binom{20}{y-1}\]

Тогда общее количество 22-значных чисел, состоящих только из цифр 3 и 4 и кратных 3, будет равно сумме таких чисел для всех подходящих значений \(x\) и \(y\):

\[\sum_{x=3}^{7} \sum_{y=1}^{16} \binom{21}{x-1} \cdot \binom{20}{y-1}\]

Вычислив эту сумму, мы получим ответ на задачу.