Сколько существует сто целых чисел, состоящих из трехзначных цифр, где каждая цифра, кроме самой первой и последней

Yastrebka

22

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, какие ограничения накладываются на трехзначные числа с указанным условием.

Мы знаем, что каждая цифра, кроме самой первой и последней, должна быть равна произведению двух соседних цифр. Пусть первая цифра числа будет \(a\), вторая цифра - \(b\), а третья цифра - \(c\).

Исходя из условия задачи, у нас есть следующие ограничения:

1) \(b = a \cdot c\) - вторая цифра должна быть равна произведению первой и третьей цифры.
2) Цифры \(a\), \(b\), и \(c\) должны быть трехзначными числами.

Посмотрим, какие значения могут принимать цифры \(a\), \(b\) и \(c\), чтобы удовлетворить указанным ограничениям.

Так как трехзначные числа могут иметь значения от 100 до 999, положим \(a\) равным 1 и попробуем найти значения \(b\) и \(c\) соответствующие условию.

Если \(a = 1\), то \(b = 1 \cdot c = c\). Значит, чтобы выполнить условие задачи, \(c\) должна быть равна 1. Однако, в условии сказано, что третья цифра не может быть равна 1. Таким образом, если \(a = 1\), нет трехзначных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Давайте теперь рассмотрим случай, когда \(a = 2\).

Если \(a = 2\), то \(b = 2 \cdot c\). Рассмотрим возможные значения \(c\) при данном равенстве:

* Если \(c = 1\), то \(b = 2 \cdot 1 = 2\). В этом случае получаем число 212, которое удовлетворяет заданному условию.
* Если \(c = 2\), то \(b = 2 \cdot 2 = 4\). В этом случае получаем число 224, которое удовлетворяет заданному условию.
* Если \(c = 3\), то \(b = 2 \cdot 3 = 6\). В этом случае получаем число 236, которое удовлетворяет заданному условию.

Таким образом, при \(a = 2\) существуют три трехзначных числа, удовлетворяющих условию задачи: 212, 224, 236.

Аналогично можно рассмотреть случаи, когда \(a = 3\), \(a = 4\), и так далее.

После анализа всех возможных значений \(a\), мы обнаружим, что для каждого значения \(a\) существует одно и только одно трехзначное число, удовлетворяющее условию задачи.

Таким образом, всего существует \(10 - 1 = 9\) трехзначных чисел, удовлетворяющих условию задачи. Это числа, начинающиеся с цифр от 2 до 10 (исключая 1), так как они удовлетворяют условию задачи для различных значений \(a\).

Надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!