Сколько существует упорядоченных пар натуральных чисел, сумма которых равна 120, а их наибольший общий делитель равен?

Yarus

54

Задача заключается в определении количества упорядоченных пар натуральных чисел, сумма которых равна 120, а их наибольший общий делитель равен некоторому числу \(d\).

Чтобы решить эту задачу, мы должны разбить задание на две части: определение возможных значений для наибольшего общего делителя и подсчет количества упорядоченных пар чисел для каждого значения наибольшего общего делителя.

По условию, сумма пары чисел равна 120. Давайте представим эти числа как \(a\) и \(b\). Тогда у нас есть уравнение:

\[a + b = 120 \quad(1)\]

Немедленно заметим, что наши числа должны быть натуральными, то есть положительными целыми числами. Следовательно, \(a\) и \(b\) должны быть больше нуля.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения наибольшего общего делителя \(\text{НОД}(a, b)\). В условии сказано, что \(\text{НОД}(a, b) = d\), где \(d\) - это какое-то натуральное число.

Рассмотрим различные значения \(d\) и подсчитаем количество пар чисел, у которых наибольший общий делитель равен \(d\):

1. Если \(d = 1\), это означает, что у нас нет никаких ограничений на выбор чисел \(a\) и \(b\). В таком случае, любая упорядоченная пара чисел, сумма которых равна 120, будет удовлетворять условиям задачи. Количество таких пар можно найти, используя комбинаторику. Так как сумма чисел равна 120, и \(a\) и \(b\) должны быть натуральными числами, то мы можем рассмотреть различные значения числа \(a\) от 1 до 119, и для каждого значения числа \(a\) можем найти соответствующее значение числа \(b\), чтобы их сумма была равна 120. Таким образом, количество пар будет равно количеству натуральных чисел между 1 и 119, то есть 119.

2. Если \(d = 2\), то оба числа \(a\) и \(b\) должны быть четными. Рассмотрим каждое четное число \(x\) от 2 до 118 включительно, и найдем количество пар чисел, где \(a = x\) и \(b = 120 - x\). Каждое из этих чисел будет делиться на 2, поэтому НОД будет равен 2. Таким образом, количество пар будет равно количеству положительных четных чисел между 2 и 118, то есть \(\frac{118 - 2}{2} + 1 = 59\) (мы добавляем 1, потому что включаем 2 и 118).

3. Если \(d = 3\), то сумма чисел \(a\) и \(b\) должна быть кратна 3. Рассмотрим каждое число \(x\) от 3 до 117, которое делится на 3, и найдем количество пар чисел, где \(a = x\) и \(b = 120 - x\). Каждое из этих чисел будет делиться на 3, а значит НОД будет равен 3. Таким образом, количество соответствующих пар равно количеству чисел, делящихся на 3, между 3 и 117, то есть \(\frac{117 - 3}{3} + 1 = 39\).

Подсчитаем количество пар для остальных возможных значений \(d\) точно таким же образом.

4. Если \(d = 4\), то оба числа \(a\) и \(b\) должны делиться на 4. Подобным образом, перебираем все четные числа от 4 до 116 и находим количество пар.

5. Если \(d = 5\), то сумма чисел должна быть кратна 5.

Продолжаем этот процесс для остальных возможных значений \(d\).

Итак, для данной задачи, нам необходимо рассмотреть все возможные значения \(d\) (от 1 до 120) и подсчитать количество упорядоченных пар чисел для каждого значения \(d\). Общий ответ будет суммой количества пар, найденных для каждого значения \(d\).

Мы предоставили общий подход к решению этой задачи. Если вы захотите узнать количество пар чисел для конкретного значения \(d\), пожалуйста, укажите его, и я буду рад помочь вам продолжить решение задачи.