Сколько существует вариантов выбора 5 яблок из ящика, содержащего 18 яблок (4 красных и остальные зелёных), таким

Ястреб_4093

52

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и принципы сочетаний. Давайте разберемся пошагово.

1) Сначала определим, сколько всего комбинаций можно выбрать из ящика с 18 яблоками, выбирая 5 из них. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где \(n\) - общее количество объектов (яблок в ящике), а \(k\) - количество объектов (яблок), которые мы хотим выбрать.

В нашем случае, мы хотим выбрать 5 из 18 яблок. Подставим значения в формулу:

\[\binom{18}{5} = \frac{18!}{5!(18-5)!}\]

2) Теперь нам нужно определить, сколько комбинаций содержат в себе ровно 2 красных яблока и 3 зеленых яблока. Мы знаем, что в ящике есть 4 красных яблока и 14 зеленых яблок. Давайте разобьем это на два случая:

а) Когда 2 красных яблока выбраны из 4 доступных, а 3 зеленых яблока выбраны из 14 доступных. Для этого мы снова можем использовать формулу сочетаний:
\[\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!}\]

и

\[\binom{14}{3} = \frac{14!}{3!(14-3)!}\]

б) Когда все 4 красных яблока выбираются вместе с одним из 14 зеленых яблок. Для этого нам нужно сначала выбрать одно зеленое яблоко, а затем выбрать оставшиеся 4 яблока. Таким образом, мы получаем:
\[\binom{14}{1} \cdot \binom{4}{4} = \binom{14}{1} = \frac{14!}{1!(14-1)!}\]

3) Теперь мы можем сложить результаты двух случаев для получения общего количества комбинаций:
\[\binom{4}{2} \cdot \binom{14}{3} + \binom{14}{1} = ???\]

Давайте выполним несколько вычислений:

\[\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\]

\[\binom{14}{3} = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 364\]

\[\binom{14}{1} = \frac{14!}{1!(14-1)!} = 14\]

Итак, подставим значения в общую формулу:

\[6 \cdot 364 + 14 = 2184 + 14 = 2198\]

Таким образом, существует 2198 вариантов выбрать 5 яблок из ящика, содержащего 18 яблок, таким образом, чтобы среди выбранных яблок оказалось два красного цвета.