Сколько существует вариантов выбора 5 яблок из ящика, содержащего 18 яблок (4 красных и остальные зелёных), таким

Ястреб_4093

52

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и принципы сочетаний. Давайте разберемся пошагово.

1) Сначала определим, сколько всего комбинаций можно выбрать из ящика с 18 яблоками, выбирая 5 из них. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний:
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Где $n$ - общее количество объектов (яблок в ящике), а $k$ - количество объектов (яблок), которые мы хотим выбрать.

В нашем случае, мы хотим выбрать 5 из 18 яблок. Подставим значения в формулу:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{5})=\frac{18!}{5!(18-5)!}$$

2) Теперь нам нужно определить, сколько комбинаций содержат в себе ровно 2 красных яблока и 3 зеленых яблока. Мы знаем, что в ящике есть 4 красных яблока и 14 зеленых яблок. Давайте разобьем это на два случая:

а) Когда 2 красных яблока выбраны из 4 доступных, а 3 зеленых яблока выбраны из 14 доступных. Для этого мы снова можем использовать формулу сочетаний:
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=\frac{4!}{2!(4-2)!}$$

и

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{3})=\frac{14!}{3!(14-3)!}$$

б) Когда все 4 красных яблока выбираются вместе с одним из 14 зеленых яблок. Для этого нам нужно сначала выбрать одно зеленое яблоко, а затем выбрать оставшиеся 4 яблока. Таким образом, мы получаем:
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{1})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{1})=\frac{14!}{1!(14-1)!}$$

3) Теперь мы можем сложить результаты двух случаев для получения общего количества комбинаций:
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{1})=???$$

Давайте выполним несколько вычислений:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=6$$

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{3})=\frac{14!}{3!(14-3)!}=\frac{14!}{3!11!}=\frac{14\cdot 13\cdot 12}{3\cdot 2\cdot 1}=364$$

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{1})=\frac{14!}{1!(14-1)!}=14$$

Итак, подставим значения в общую формулу:

$$6\cdot 364+14=2184+14=2198$$

Таким образом, существует 2198 вариантов выбрать 5 яблок из ящика, содержащего 18 яблок, таким образом, чтобы среди выбранных яблок оказалось два красного цвета.