Сколько теплоты необходимо добавить в закрытый сосуд объемом V=300 л с воздухом при давлении р1=0,8 МПа и температуре

Donna

29

Для решения этой задачи нам понадобятся уравнение состояния и формула для определения теплоты при изохорном процессе.

1. Уравнение состояния:

Уравнение состояния идеального газа выглядит следующим образом:

\[ pV = nRT \]

где \( p \) - давление газа, \( V \) - объем газа, \( n \) - количество вещества (в молях), \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T \) - температура газа.

2. Формула для определения теплоты при изохорном процессе:

Теплота в изохорном процессе определяется следующей формулой:

\[ Q = C_v \cdot \Delta T \]

где \( Q \) - теплота, \( C_v \) - молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме, \( \Delta T \) - изменение температуры.

Теперь, приступим к решению:

1. Для начала найдем количество вещества газа, используя уравнение состояния и заданные параметры:

\[ n = \frac{{pV}}{{RT}} \]

где \( R = 8.314 \) Дж/(моль·К) - значение универсальной газовой постоянной.

Подставим известные значения:

\[ n = \frac{{0.8 \cdot 10^6 \, Па \cdot 300 \, л}}{{8.314 \, Дж/(моль·К) \cdot (20 + 273.15) \, K}} \]

Выполним вычисления:

\[ n \approx 10.686 \, моль \]

2. Теперь найдем теплоту, используя формулу для изохорного процесса:

\[ Q = C_v \cdot \Delta T \]

Нам известно, что зависимость теплоемкости от температуры описывается следующим выражением:

\[ C_v = a + b \cdot T \]

где \( a \) и \( b \) - постоянные коэффициенты, зависящие от вещества.

В нашем случае, возьмем значения \( a = 20 \) Дж/(моль·К) и \( b = 0.02 \) Дж/(моль·К²) - значения для воздуха.

Теперь можем приступить к расчету:

\[ Q = (a + b \cdot T_1) \cdot (T_2 - T_1) \]

\[ Q = (20 \, Дж/(моль·К) + 0.02 \, Дж/(моль·К²) \cdot (20 + 273.15) \, K) \cdot (120 - 20) \, K \]

Выполним вычисления:

\[ Q \approx 29224 \, Дж \]

3. Чтобы определить относительную ошибку, рассчитаем теплоту, используя только значение \( C_v \), не учитывая зависимость от температуры:

\[ Q_{\text{без зависимости}} = C_{v1} \cdot \Delta T \]

\[ Q_{\text{без зависимости}} = a \cdot (T_2 - T_1) \]

\[ Q_{\text{без зависимости}} = 20 \, Дж/(моль·К) \cdot (120 - 20) \, K \]

\[ Q_{\text{без зависимости}} = 2000 \, Дж \]

Относительная ошибка вычисляется следующим образом:

\[ \text{Относительная ошибка} = \left| \frac{{Q - Q_{\text{без зависимости}}}}{{Q_{\text{без зависимости}}}} \right| \cdot 100\% \]

\[ \text{Относительная ошибка} = \left| \frac{{29224 \, Дж - 2000 \, Дж}}{{2000 \, Дж}} \right| \cdot 100\% \]

Выполним вычисления:

\[ \text{Относительная ошибка} \approx 1371.2\% \]

Таким образом, относительная ошибка в первом случае составляет около 1371.2%.