Сколько теплоты высвободится на активном сопротивлении R = 10 Ом в течение 3 периодов колебаний, если мгновенное

Сквозь_Лес

54

Для решения этой задачи нам необходимо использовать закон Джоуля-Ленца, который говорит о том, что мощность, потраченная на сопротивление, пропорциональна квадрату силы тока и сопротивления.

Сначала нам нужно найти формулу для силы тока. Мы знаем, что U = 141cos(100πt), где U - переменное напряжение на сопротивлении. Чтобы найти силу тока, нам нужно разделить напряжение на сопротивление R:

I = U / R = 141cos(100πt) / 10 = 14.1cos(100πt) (1)

Теперь нам нужно найти мощность, потраченную на сопротивление. Формула для мощности P выглядит следующим образом:

P = I^2 * R = (14.1cos(100πt))^2 * 10 (2)

Теперь, чтобы найти высвобождающуюся теплоту за один период колебаний, нам нужно усреднить мощность по периоду колебаний:

\(E = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} P(t) dt\)

\(E = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} P(t) dt\)

Здесь \(T\) - период колебаний, равный \(\frac{2\pi}{100\pi}\) (так как \(\omega = 100\pi\) и \(\omega = 2\pi f\)).

Используя формулу (2), можем подставить значения и интегрировать:

\(E = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} (14.1cos(100\pi t))^2 \cdot 10 dt\)

\(E = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} 198.81cos^2(100\pi t) dt\)

Чтобы решить это интеграл, воспользуемся формулой двойного угла. Формула выглядит следующим образом:

\(cos^2(2\alpha) = \frac{1 + cos(4\alpha)}{2}\)

Используя эту формулу, можем преобразовать наш интеграл следующим образом:

\(E = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{(2\pi)} \frac{198.81}{2}(1 + cos(4 \cdot 100\pi t)) dt\)

Выполняем интегрирование:

\(E = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{198.81}{2}\left(t + \frac{1}{4\cdot100\pi}sin(4\cdot100\pi t)\right)\right]_{0}^{2\pi}\)

Подставим пределы интегрирования:

\(E = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{198.81}{2}\left[2\pi + \frac{1}{4\cdot100\pi}sin(4\cdot100\pi \cdot 2\pi)\right]\right]\)

Сократим некоторые значения:

\(E = \frac{1}{2\pi}\left[198.81\pi + \frac{1}{4\cdot100\pi}sin(800\pi^2)\right]\)

Округлим ответ до ближайшего целого числа:

\(E \approx 63\) (округленно)

Таким образом, высвободится примерно 63 единицы теплоты на активном сопротивлении R = 10 Ом в течение 3 периодов колебаний, при условии, что мгновенное значение переменного напряжения на сопротивлении описывается выражением U = 141cos(100πt) В.