Сколько точек пересечения имеет 11 прямых, из которых не существует параллельных, так, чтобы ровно 5 пересекались

Лунный_Ренегат_7656

54

Эта задача относится к комбинаторике, и решить ее можно с помощью сочетаний и перестановок. Предоставлю пошаговое решение:

1. Сколько точек пересечения имеется у пяти прямых? Для вычисления количества точек пересечения мы можем использовать формулу комбинаторики из комбинаторного анализа - \(\binom{n}{2}\), где \(n\) - количество прямых. Для нашей задачи это \(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = 10\). То есть у пяти прямых имеется 10 точек пересечения.

2. Мы знаем, что все прямые пересекаются в точках, кроме параллельных. Если ни одна пара прямых не является параллельной, то у каждой пары прямых будет одна точка пересечения. Таким образом, у 5 пересекающихся прямых должны быть только 5 точек пересечения. Нам нужно найти еще 5 точек пересечения.

3. Раз у нас уже есть 10 точек пересечения, нам нужно выбрать дополнительные 5 точек пересечения из оставшихся 6 прямых. Это можно рассмотреть как задачу выбора комбинаций из 6 по 2: \(\binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = 15\). Но не все 15 точек будут удовлетворять условию, что никакие три прямые не проходят через одну точку.

4. Чтобы исключить такие комбинации точек, давайте рассмотрим ситуацию, когда все 15 точек лежат на одной прямой. В таком случае, никакие три другие прямые не проходят через одну точку, и условие задачи остается выполненным.

5. Получается, что нам нужно исключить 1 комбинацию из 15 (когда все точки пересечения лежат на одной прямой). Таким образом, у нас остаются 14 точек пересечения, которые могут быть разделены между оставшимися 6 прямыми.

6. Итак, ответ на задачу: 11 прямых имеют 14 пересечений, из которых ровно 5 пересекаются в одной точке. Ни одна пара прямых не является параллельной, и никакие три другие прямые не проходят через одну точку.