Сколько треугольников можно составить, если есть 8 точек на одной прямой и 5 точек на параллельной

Dobryy_Lis_3001

58

Для решения этой задачи нам понадобится знание о комбинаторике и представлении треугольников на плоскости. Давайте рассмотрим её подробнее.

Итак, у нас имеется одна прямая, на которой расположены 8 точек, и параллельная ей прямая, на которой находятся 5 точек. Мы хотим узнать, сколько треугольников можно составить, используя эти точки.

Чтобы подсчитать количество треугольников, нужно понять, какие стороны треугольников могут быть построены с использованием данных точек.

Давайте разобьем нашу задачу на две части: первую, когда все вершины треугольника находятся на одной прямой, и вторую, когда вершины треугольника находятся на разных прямых.

1. Все вершины треугольника находятся на одной прямой:
В таком случае, невозможно построить треугольник, так как треугольник должен иметь три различные точки в качестве вершин, а все точки находятся на одной прямой. Следовательно, в этом случае количество треугольников равно 0.

2. Вершины треугольника находятся на разных прямых:
Здесь нам нужно учесть несколько фактов: для построения треугольника нам нужно выбрать 3 точки из всех точек на обеих прямых. При этом у нас есть 8 точек на одной прямой и 5 точек на параллельной, то есть всего 13 точек.

Чтобы найти количество треугольников, которые можно составить, нужно использовать сочетания без повторений из 13 элементов по 3. Для этого можно воспользоваться формулой:

\[{C}^n_k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\]

где n - общее количество элементов (13 в нашем случае), а k - количество элементов, которые мы выбираем (3 вершины треугольника).

Подставляя значения в формулу, мы получим:

\[{C}^{13}_3 = \frac{{13!}}{{3!(13-3)!}} = \frac{{13!}}{{3! \cdot 10!}}\]

Рассчитав эту формулу, мы получаем количество треугольников, которое можно составить на двух прямых.

Давайте вычислим это:

\[ \frac{{13!}}{{3! \cdot 10!}} = \frac{{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}}{{3! \cdot 10!}} = \frac{{13 \cdot 12 \cdot 11}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 286 \]

Итак, мы приходим к выводу, что на двух прямых можно составить 286 треугольников, используя 8 точек на одной прямой и 5 точек на параллельной.

Надеюсь, что это решение поможет вам лучше понять данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.