Сколько треугольников можно создать с использованием 14 точек на одной прямой и 4 точек на параллельной прямой?

Liya

8

Для решения этой задачи нам необходимо понять, какие типы треугольников можно получить, используя данные точки.

Обозначим 14 точек на одной прямой буквой A1, A2, ..., A14, а 4 точки на параллельной прямой - буквами B1, B2, B3, B4.

Возможные варианты треугольников, которые можно сформировать, образуются при сочетаниях точек. Рассмотрим каждый вариант по отдельности:

1) Вариант треугольника, образованного точками из одной прямой:
Возьмем 3 точки, например, A1, A2 и A3. Таким образом, мы можем выбрать любые 3 точки на одной прямой и получить треугольник. Количество треугольников, которые можно получить, равно количеству комбинаций из 14 точек по 3: \(\binom{14}{3}\).

2) Вариант треугольника, образованного точками из параллельной прямой:
Точки B1, B2 и B3 могут образовывать треугольник. Аналогично предыдущему варианту, количество таких треугольников равно количеству комбинаций из 4 точек по 3: \(\binom{4}{3}\).

3) Вариант треугольника, образованного точками из обеих прямых:
Треугольник может быть образован путем выбора 1 точки на одной прямой (например, A1) и 2 точек на параллельной прямой (например, B1 и B2), или 2 точек на одной прямой и 1 точки на параллельной прямой. Таким образом, количество треугольников, которые можно получить в этом случае равно \(\binom{14}{1} \cdot \binom{4}{2} + \binom{14}{2} \cdot \binom{4}{1}\).

Теперь мы можем сложить все найденные значения, чтобы найти итоговое количество треугольников:

\(\binom{14}{3} + \binom{4}{3} + \left( \binom{14}{1} \cdot \binom{4}{2} + \binom{14}{2} \cdot \binom{4}{1} \right)\)

Подсчитав это выражение, мы найдем число треугольников, которые можно сформировать с использованием данных точек.