Сколько уникальных чисел могло быть записано на доске, если каждое число было возведено в квадрат или куб и результат

Solnechnyy_Smayl

15

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим несколько вариантов возведения чисел в квадрат и куб, и посмотрим на результаты.

Пусть числа, которые могут быть записаны на доске, будут от 1 до N.

Вариант 1: Возведение чисел в квадрат
В этом случае мы будем записывать на доске квадраты чисел от 1 до N. Например, если N = 5, то мы будем иметь следующие числа: 1, 4, 9, 16, 25. Заметим, что в этом случае нас интересуют только уникальные числа. То есть, если пара чисел имеет одинаковый результат возведения в квадрат, то мы будем считать только одно из них. Например, 1 и 4 имеют одинаковый квадрат, поэтому мы будем считать только число 1.

Вариант 2: Возведение чисел в куб
Аналогично, мы будем записывать на доске кубы чисел от 1 до N. Если N = 5, то мы будем иметь следующие числа: 1, 8, 27, 64, 125.

Теперь, чтобы найти количество уникальных чисел, которые могли быть записаны на доске, мы объединим результаты из обоих вариантов и уберем дубликаты:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 64, 125.

Таким образом, на доске могло быть записано 9 уникальных чисел в результате возведения чисел от 1 до N в квадрат или куб и замены результатов на исходные числа.

Математически, мы могли бы выразить это общее количество уникальных чисел с помощью формулы:

\[\text{Количество уникальных чисел} = \text{количество уникальных чисел в отдельном варианте} = \text{P}(2N) - \text{P}(N),\]

где \(\text{P}(x)\) - обозначает функцию делителя, которая считает количество делителей числа \(x\).

Надеюсь, ответ был полезным и понятным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.