Сколько вариантов распределения игрушек существует, чтобы каждый из внуков получил одну игрушку?

Ledyanoy_Serdce

21

Данная задача является классической задачей комбинаторики, где необходимо определить количество возможных вариантов распределения игрушек между внуками. Для её решения мы можем использовать принцип счёта.

Предположим, у нас имеется \(n\) различных игрушек и \(k\) внуков. Наша основная цель - распределить все игрушки таким образом, чтобы каждый внук получил ровно одну игрушку.

Шаги решения задачи:
1. Определяем количество вариантов выбора игрушек для первого внука. У нас имеется \(n\) игрушек, поэтому первый внук может выбрать любую из них. Таким образом, у нас имеется \(n\) вариантов.
2. После того, как первый внук выбрал свою игрушку, у нас остаётся только \(n-1\) игрушка для выбора вторым внуком. Таким образом, для второго внука у нас имеется \(n-1\) вариант выбора игрушки.
3. После выбора игрушек первым и вторым внуками, нам остаётся только \(n-2\) игрушки для выбора третьего внука. Соответственно, у нас имеется \(n-2\) варианта.
4. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока у нас не останется последнего внука, для которого у нас останется только одна доступная игрушка.
5. Умножаем все варианты в каждом шаге, чтобы определить общее количество вариантов распределения игрушек между внуками.

Таким образом, общее количество вариантов распределения игрушек можно определить с помощью следующей формулы:

\[n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 1\]

Для удобства используем более привычную запись с использованием факториала:

\[n!\]

Таким образом, ответ на задачу составляет \(n!\) возможных вариантов распределения игрушек между внуками.

Например, если у нас есть 4 игрушки и 3 внука, тогда количество возможных вариантов будет равно:

\[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\]