Вариант I 1. Какие из перечисленных функций являются четными: y = cos(x-2), y = cos(x+2), y = cosx+2, y = cos(x-1)-1?

Федор

43

1. Давайте рассмотрим каждую функцию по очереди:

a) Функция y = cos(x-2) - чтобы показать четность функции, заменим x на -x и проверим, сохранится ли функция:

y(-x) = cos((-x)-2) = cos(-x+2)

Мы видим, что значение в скобках не меняется, поэтому можно сделать вывод, что функция является четной.

b) Функция y = cos(x+2) - проведем аналогичное рассуждение:

y(-x) = cos((-x)+2) = cos(-x+2)

Опять же, скобка не меняется, поэтому эта функция тоже является четной.

c) Функция y = cosx+2 - эта функция имеет некорректную запись, поскольку "+" не должно быть напрямую после "cos". Если мы предположим, что здесь должно быть умножение, то рассмотрим этот случай:

y(-x) = cos(-x)+2

В данной форме функция не показывает четность, так как у нас есть отдельный постоянный член 2, который может нарушить свойство четности. Поэтому данная функция не является четной.

d) Функция y = cos(x-1)-1:

y(-x) = cos((-x)-1)-1 = cos(-x-1)-1

По аналогии с предыдущими функциями, скобка не меняется, следовательно, эта функция также является четной.

Итак, из перечисленных функций являются четными функции: y = cos(x-2) и y = cos(x+2).

2. Область значений функции у=│2cos(x+1)-2│:
Для определения области значений этой функции нам нужно рассмотреть все возможные значения выражения в модуле.

Выражение внутри модуля, 2cos(x+1)-2, может принимать любое значение от минус бесконечности до плюс бесконечности, так как значение cos принадлежит интервалу [-1, 1].

Если мы возьмем модуль от этого выражения, то получим всегда положительные числа, так как модуль отрицательного числа равен положительному числу.

Следовательно, область значений функции у=│2cos(x+1)-2│ - это положительные числа, включая ноль.

3. Найдем наибольшее значение функции y=-cos(2x+1):

Функция y=-cos(2x+1) представляет собой синусоидальную функцию, сдвинутую вниз на единицу и умноженную на -1.

Наибольшее значение этой функции будет равно 1, так как cos(2x+1) принимает значения от -1 до 1, а умножение на -1 инвертирует это значение, и сдвиг вниз не приведет к превышению единицы.

Итак, наибольшее значение функции y=-cos(2x+1) равно 1.

4. Найдем период функции y=3cos3x:

Период функции cos(kx), где k - коэффициент перед x, определяется следующим образом: T = \(\frac{2\pi}{k}\).

В данном случае коэффициент перед x равен 3, поэтому период функции y=3cos3x будет равен T = \(\frac{2\pi}{3}\).

5. Преобразования для построения графика функции y = cos(x+3) на основе графика y = cos x:

Для построения графика функции y = cos(x+3) на основе графика y = cos x, мы должны сделать горизонтальный сдвиг влево на 3 единицы.

Это означает, что каждая точка графика y = cos x должна быть сдвинута влево на 3 единицы, чтобы получить график y = cos(x+3).

6. На изображении hello_html_m3151762c.gif представлено уравнение косинусной функции с периодом 2 и амплитудой 3, а также сдвигом графика вниз на 2 единицы. Таким образом, уравнение, представленное на изображении, будет следующее: y = 3cos\(\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) - 2.