What is the sum of an infinitely decreasing geometric progression: 1) 0.4; 0.04; 0.004; 0.0004... 2) 0.17; 0.0017

Druzhische

28

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: 0,4; 0,04; 0,004; 0,0004...

Для определения суммы данной прогрессии воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[ S = \dfrac{a}{1 - q} \]

где \( S \) - сумма прогрессии, \( a \) - первый член прогрессии, \( q \) - знаменатель прогрессии.

Для данной прогрессии, первый член \( a = 0.4 \) и знаменатель \( q = 0.1 \) (так как каждый следующий член прогрессии получается путем деления предыдущего члена на 10).

Подставим эти значения в формулу:

\[ S = \dfrac{0.4}{1 - 0.1} \]

\[ S = \dfrac{0.4}{0.9} = \dfrac{4}{9} \]

Таким образом, сумма данной прогрессии равна \( \dfrac{4}{9} \).

2) Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: 0,17; 0,0017; 0,000017...

Аналогично предыдущей задаче, найдем сумму прогрессии, используя формулу:

\[ S = \dfrac{a}{1 - q} \]

В данной прогрессии первый член \( a = 0.17 \) и знаменатель \( q = 0.01 \) (так как каждый следующий член прогрессии получается путем деления предыдущего члена на 100).

Подставим эти значения в формулу:

\[ S = \dfrac{0.17}{1 - 0.01} \]

\[ S = \dfrac{0.17}{0.99} \approx 0.17171717... \]

Значение суммы данной прогрессии будет приближенно равно 0.17171717...

3) Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: 0,054; 0,0054; 0,00054...

Проделав аналогичные шаги, найдем сумму прогрессии:

\[ S = \dfrac{a}{1 - q} \]

Здесь первый член \( a = 0.054 \) и знаменатель \( q = 0.01 \) (так как каждый следующий член прогрессии получается путем деления предыдущего члена на 10).

Подставим эти значения в формулу:

\[ S = \dfrac{0.054}{1 - 0.01} \]

\[ S = \dfrac{0.054}{0.99} \approx 0.0545454545... \]

Сумма данной прогрессии будет приближенно равна 0.0545454545...

4) Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: \( \frac{1}{3} \); \( \frac{1}{6} \); \( \frac{1}{12} \); \( \frac{1}{36} \)

Аналогично предыдущим задачам, используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[ S = \dfrac{a}{1 - q} \]

В данной прогрессии первый член \( a = \frac{1}{3} \) и знаменатель \( q = \frac{1}{2} \) (так как каждый следующий член прогрессии получается путем деления предыдущего члена на 2).

Подставим эти значения в формулу:

\[ S = \dfrac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} \]

\[ S = \dfrac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}} \]

\[ S = 2 \cdot \frac{2}{6} \]

\[ S = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Таким образом, сумма данной прогрессии равна \( \frac{2}{3} \).