Сколько возможных способов разделения изображенного квадрата 4x4 клетки на две равные части существует так, чтобы линия

Grigoriy

14

Для решения этой задачи рассмотрим возможные варианты разделения квадрата 4x4 на две равные части по линиям клетчатой бумаги. Линия раздела может проходить горизонтально, вертикально или по диагонали.

1) Разбиение горизонтальной линией:
Возьмем во внимание, что горизонтальная линия может проходить только между второй и третьей строками. Так как нужно делить квадрат на две равные части, мы можем провести линию только между вторым и третьим рядами или между третьим и четвертым рядами.

- Линия между вторым и третьим рядами:
Для этого случая нам нужно выбрать, какие столбцы будут входить в одну часть, а какие в другую. В данной ситуации у нас 3 варианта, так как нам нужно определить, какой из 3 доступных столбцов будет входить в одну часть:
\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
* & * & * & * \\
\hline
* & * & * & * \\
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
\end{tabular}
\]

- Линия между третьим и четвертым рядами:
Данная ситуация аналогична предыдущей и также имеет 3 варианта:
\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& & & \\
\hline
& & & \\
\hline
* & * & * & * \\
\hline
* & * & * & * \\
\hline
\end{tabular}
\]

В итоге имеем 3+3=6 различных вариантов разделения квадрата горизонтальной линией.

2) Разбиение вертикальной линией:
Вертикальная линия может проходить только между вторым и третьим столбцами квадрата, и точно так же, как в предыдущем случае, мы можем разделить квадрат на две равные части, выбирая, какие строки будут в первой части и какие во второй.

- Линия между вторым и третьим столбцами:
Снова имеем 3 варианта, так как нам нужно определить, какие строки будут входить в одну часть:
\[
\begin{tabular}{|c|c||c|c|}
\hline
* & | & * & * \\
\hline
* & | & * & * \\
\hline
* & | & * & * \\
\hline
* & | & * & * \\
\hline
\end{tabular}
\]

В итоге получаем 3 различных варианта разделения квадрата вертикальной линией.

3) Разбиение диагональной линией:
Существует только одна диагональная линия, которая делит квадрат на две равные части по числу клеток.

- Диагональная линия:
Квадрат 4x4 имеет 8 клеток, и линия проходит через 5 из них. Так как даже расположение этих 5 клеток может быть разным, имеем только 1 вариант:
\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
* & & & \\
\hline
& * & * & \\
\hline
& * & * & \\
\hline
& & & * \\
\hline
\end{tabular}
\]

Итоговый ответ:
Всего существует \(6 + 3 + 1 = 10\) различных способов разделить изображенный квадрат на две равные части по линиям клетчатой бумаги.