Сколько времени понадобится телу, начиная с покоя, чтобы вернуться в исходную точку, если его ускорение меняет знак

Пингвин

52

Конечно! Давайте решим данную задачу по шагам.

Задача состоит в определении времени, необходимого для тела, чтобы вернуться в исходную точку, если его ускорение меняет знак на противоположный, оставаясь тем же по модулю. Для удобства обозначим начальное положение тела как $x_0$ и начальную скорость как $v_0$.

1. Определение ускорения: Ускорение тела по модулю остается неизменным, поэтому мы можем обозначить его как $a$. Учитывая, что ускорение меняет знак, мы можем записать: $a=-|a|$, где $|a|$ обозначает модуль ускорения.

2. Определение закона движения тела: Мы знаем, что ускорение является производной скорости по времени, поэтому мы можем записать: $\frac{dv}{dt}=a$.

3. Решение дифференциального уравнения: Для решения данного дифференциального уравнения, мы должны проинтегрировать обе стороны уравнения. Интегрируя левую сторону по времени и правую сторону по скорости, мы получим: ${\int }_{v_0}^{v(t)}dv={\int }_0^{t}adt$.

4. Вычисление времени: Вычислим интегралы. Первый интеграл даёт нам $v(t)-v_0$, второй интеграл даёт нам $at$. Значит, уравнение переписывается следующим образом: $v(t)-v_0=at$.

5. Определение времени возвращения: Теперь мы можем выразить время $t$, необходимое для тела, чтобы вернуться в исходную точку, используя начальную скорость и ускорение. Подставляя $v(t)=0$ и $v_0=0$ в уравнение, получим: $0-0=at$, что приводит к следующему равенству: $t=\frac{0}{a}=0$.

Итак, получается, что тело вернется в исходную точку сразу же после того, как его ускорение изменится на противоположное, оставаясь тем же по модулю. Время возвращения равно нулю.