Сколько времени понадобится телу, начиная с покоя, чтобы вернуться в исходную точку, если его ускорение меняет знак

Пингвин

52

Конечно! Давайте решим данную задачу по шагам.

Задача состоит в определении времени, необходимого для тела, чтобы вернуться в исходную точку, если его ускорение меняет знак на противоположный, оставаясь тем же по модулю. Для удобства обозначим начальное положение тела как \(x_0\) и начальную скорость как \(v_0\).

1. Определение ускорения: Ускорение тела по модулю остается неизменным, поэтому мы можем обозначить его как \(a\). Учитывая, что ускорение меняет знак, мы можем записать: \(a = -|a|\), где \(|a|\) обозначает модуль ускорения.

2. Определение закона движения тела: Мы знаем, что ускорение является производной скорости по времени, поэтому мы можем записать: \(\frac{{dv}}{{dt}} = a\).

3. Решение дифференциального уравнения: Для решения данного дифференциального уравнения, мы должны проинтегрировать обе стороны уравнения. Интегрируя левую сторону по времени и правую сторону по скорости, мы получим: \(\int_{{v_0}}^{{v(t)}}dv = \int_{{0}}^{{t}}a dt\).

4. Вычисление времени: Вычислим интегралы. Первый интеграл даёт нам \(v(t) - v_0\), второй интеграл даёт нам \(at\). Значит, уравнение переписывается следующим образом: \(v(t) - v_0 = at\).

5. Определение времени возвращения: Теперь мы можем выразить время \(t\), необходимое для тела, чтобы вернуться в исходную точку, используя начальную скорость и ускорение. Подставляя \(v(t) = 0\) и \(v_0 = 0\) в уравнение, получим: \(0 - 0 = a t\), что приводит к следующему равенству: \(t = \frac{{0}}{{a}} = 0\).

Итак, получается, что тело вернется в исходную точку сразу же после того, как его ускорение изменится на противоположное, оставаясь тем же по модулю. Время возвращения равно нулю.