Сколько времени потребуется, чтобы количество нераспавшихся ядер уменьшилось вещества с периодом полураспада 3 недели?

Svetlyachok_V_Nochi

63

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать формулу экспоненциального убывания, которая описывает количество нераспавшихся ядер вещества через определенный период времени.

Формула экспоненциального убывания выглядит следующим образом:

\[ N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{T} \]

Где:
- N - количество нераспавшихся ядер вещества после времени t
- N₀ - начальное количество нераспавшихся ядер вещества
- t - время, прошедшее с начала процесса
- T - период полураспада

В нашем случае, период полураспада равен 3 неделям, поэтому T = 3. Нам известно, что начальное количество ядер N₀ равно 100% вещества, то есть 1.

Теперь мы можем найти время t, которое требуется для того, чтобы количество нераспавшихся ядер уменьшилось до определенного значения. Допустим, нам нужно найти время, когда количество нераспавшихся ядер уменьшилось до 50% от изначального значения.

Подставим в формулу известные значения:

\[ \frac{1}{2} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{3} \]

Теперь избавимся от знаменателя и возведем обе части уравнения в степень, чтобы изолировать переменную t:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{3} \]

Используя свойства степени, мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[ 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{3} \]

Чтобы избавиться от степени, применим логарифм по основанию \(\frac{1}{2}\) к обеим частям уравнения:

\[ \log_{\frac{1}{2}}2 = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{3} \]

По свойству логарифма мы можем переписать это уравнение следующим образом:

\[ \log_{\frac{1}{2}}2 = \frac{t}{3} \]

Теперь домножим обе части уравнения на 3, чтобы изолировать переменную t:

\[ 3 \cdot \log_{\frac{1}{2}}2 = t \]

Остается только посчитать значение логарифма с основанием \(\frac{1}{2}\) от 2:

\[ t \approx 3 \cdot \log_{\frac{1}{2}}2 \approx 3 \cdot (-1) \approx -3 \]

В данном случае получается смысл, что время t равно -3. Однако в контексте задачи мы работаем с временем и количеством ядер, поэтому отрицательное значение не имеет физического смысла.

Поэтому можно объяснить, что для данной задачи количество нераспавшихся ядер никогда не уменьшится до 50% от начального значения. Это происходит потому, что период полураспада само вещество не исчезнет полностью за пределами конечного времени. Вместо этого оно будет продолжать полураспадаться и уменьшаться в количестве с каждым прошедшим периодом, но никогда не достигнет значения 0 или 50% от начального количества.