Сколько всего шаров находится в ящиках, если известно, что сумма синих шаров в каждом ящике равна общему числу белых

Добрый_Лис_1857

15

Чтобы решить данную задачу, давайте представим, что у нас есть \(n\) ящиков. Пусть \(b_i\) - количество синих шаров в \(i\)-м ящике, \(w_i\) - количество белых шаров в \(i\)-м ящике, и \(r_i\) - количество красных шаров в \(i\)-м ящике.

Мы знаем, что сумма синих шаров в каждом ящике равна общему числу белых шаров во всех других ящиках. Формально это можно записать как:

\[b_i = \sum_{j \neq i} w_j \quad \forall i \in \{1, 2, ..., n\}\]

Также известно, что сумма белых шаров в каждом ящике равна общему числу красных шаров во всех остальных ящиках:

\[w_i = \sum_{j \neq i} r_j \quad \forall i \in \{1, 2, ..., n\}\]

Нам также известно, что общее количество шаров в ящиках является нечетным числом, большим 50 и меньшим пропущенным в задаче числом.

Для начала, давайте найдем общее количество шаров в ящиках. Предположим, что это количество равно \(s\).

\[s = \sum_{i=1}^n (b_i + w_i + r_i)\]

Также, учитывая равенства сумм, которые мы получили выше, мы можем переписать это как:

\[s = \sum_{i=1}^n (b_i + w_i + r_i) = \sum_{i=1}^n (b_i + \sum_{j \neq i} w_j + \sum_{j \neq i} r_j)\]

Давайте раскроем суммы:

\[s = \sum_{i=1}^n (b_i + \sum_{j \neq i} w_j + \sum_{j \neq i} r_j) = \sum_{i=1}^n (b_i + \sum_{j=1,j\neq i}^n w_j + \sum_{j=1,j\neq i}^n r_j)\]

\[s = \sum_{i=1}^n (b_i + \sum_{j=1}^n w_j - w_i + \sum_{j=1}^n r_j - r_i) = \sum_{i=1}^n (b_i + \sum_{j=1}^n w_j + \sum_{j=1}^n r_j) - (n-1)w_i - (n-1)r_i\]

Мы видим, что в каждой из сумм \(\sum_{j=1}^n w_j\) и \(\sum_{j=1}^n r_j\) у нас есть \(n\) одинаковых слагаемых. Таким образом, мы можем записать это как:

\[s = (b_1 + \sum_{j=1}^n w_j + \sum_{j=1}^n r_j) \cdot n - (n-1)(\sum_{j=1}^n w_j + \sum_{j=1}^n r_j)\]

\[s = (b_1 + \sum_{j=1}^n w_j + \sum_{j=1}^n r_j) \cdot n - (n-1)s\]

Для удобства обозначим:

\[W = \sum_{j=1}^n w_j \quad \text{и} \quad R = \sum_{j=1}^n r_j\]

Мы можем переписать последнее равенство как:

\[s = (b_1 + W + R) \cdot n - (n-1)s\]

Теперь решим это уравнение относительно \(s\):

\[s + (n-1)s = n(b_1 + W + R)\]

\[ns = n(b_1 + W + R)\]

\[s = b_1 + W + R\]

Таким образом, общее количество шаров в ящиках равно сумме количества синих, белых и красных шаров во всех ящиках.

Однако, чтобы найти точное количество шаров, нам нужны данные о количестве синих, белых и красных шаров в каждом отдельном ящике. Если эти данные известны, мы можем использовать найденное общее количество шаров и соотношения между цветами шаров в каждом ящике, описанные в условии задачи, чтобы построить систему уравнений и решить ее, чтобы найти значения каждой переменной. К сожалению, без дополнительной информации о количестве шаров в каждом отдельном ящике, мы не можем дать точный ответ.