Сколько ядер изотопа калия-40 распадается за 1 секунду в тканях организма ученика весом 50 кг, если содержание калия

Roza

57

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для расчета количества распадающихся ядер вещества по закону радиоактивного распада:

\[ N = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \]

где:
- \( N \) - количество распадающихся ядер вещества за время \( t \)
- \( N_0 \) - начальное количество ядер вещества
- \( \lambda \) - константа распада (связана с периодом полураспада \( T_{1/2} \) следующим образом: \( \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \))
- \( e \) - основание натурального логарифма

Для начала найдем начальное количество ядер калия-40 в организме ученика. Для этого нужно умножить массу организма на содержание калия в организме.

\[ N_0 = M \cdot C_{\text{калия}} \]

где:
- \( M \) - масса тела ученика (50 кг)
- \( C_{\text{калия}} \) - содержание калия в организме (0,19% в виде десятичной дроби: \(0,19 = 0,0019\))

Подставляя все известные значения, получаем:

\[ N_0 = 50 \cdot 0,0019 = 0,095 \]

Теперь найдем константу распада \( \lambda \) для изотопа калия-40, используя его период полураспада \( T_{1/2} \).

\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \]

\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{1,24 \cdot 10^9} \]

Вычисляем:

\[ \lambda \approx 5,59 \times 10^{-10} \]

Теперь осталось найти количество распадающихся ядер за 1 секунду, \( N \), используя полученные значения. Подставляем в формулу:

\[ N = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \]

Так как время \( t \) равно 1 секунде, получаем:

\[ N = 0,095 \cdot e^{-5,59 \times 10^{-10} \cdot 1} \]

Вычисляем:

\[ N \approx 0,095 \cdot e^{-5,59 \times 10^{-10}} \approx 0,095 \cdot 0,99999999944 \approx 0,095 \]

Таким образом, за 1 секунду в тканях организма ученика распадается около 0,095 ядер изотопа калия-40.