Сможете ли вы подтвердить, что треугольник pqrs с вершинами p(0;0), q(1;2), r(5;0) и s(4;-2) является прямоугольником?

Добрый_Убийца

69

Чтобы определить, является ли треугольник pqrs прямоугольником, мы должны проверить, существует ли перпендикулярная связь между одной из его сторон и другой стороной.

Для начала, давайте построим треугольник pqrs на координатной плоскости. Вершины p(0;0), q(1;2), r(5;0) и s(4;-2).

\[
\begin{array}{c|c}
\text{Вершина} & \text{Координаты} \\
\hline
p & (0, 0) \\
q & (1, 2) \\
r & (5, 0) \\
s & (4, -2) \\
\end{array}
\]

Теперь нам нужно вычислить длины сторон треугольника pqrs и проверить, существует ли перпендикулярная связь между ними.

Длина стороны \(pq\) можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[
d(p, q) = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}
\]

для точек \(p(x_1, y_1)\) и \(q(x_2, y_2)\).

Применяя эту формулу для стороны \(pq\), получаем:

\[
d(p, q) = \sqrt{{(1 - 0)}^2 + {(2 - 0)}^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]

Аналогично, вычисляем длины остальных сторон:

\[
d(q, r) = \sqrt{{(5 - 1)}^2 + {(0 - 2)}^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}
\]

\[
d(r, s) = \sqrt{{(4 - 5)}^2 + {(-2 - 0)}^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]

\[
d(s, p) = \sqrt{{(0 - 4)}^2 + {(0 - (-2))}^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}
\]

Теперь давайте проверим, существуют ли перпендикулярные связи между сторонами.

Если сторона pq является перпендикуляром к стороне rs и сторона qr является перпендикуляром к стороне ps, тогда треугольник pqrs будет прямоугольником.

Для этого, мы можем использовать свойство, которое утверждает, что перпендикулярная связь между отрезками на плоскости существует, если и только если произведение их коэффициентов наклона равно -1.

Коэффициент наклона отрезка, соединяющего две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), можно вычислить с использованием следующей формулы:

\[
m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}
\]

Применяя эту формулу, мы можем вычислить коэффициенты наклона для сторон треугольника pqrs:

Для стороны pq:

\[
m(pq) = \frac{{2 - 0}}{{1 - 0}} = 2
\]

Для стороны rs:

\[
m(rs) = \frac{{-2 - 0}}{{4 - 5}} = 2
\]

Для стороны qr:

\[
m(qr) = \frac{{0 - 2}}{{5 - 1}} = -\frac{1}{2}
\]

Для стороны ps:

\[
m(ps) = \frac{{0 - (-2)}}{{0 - 4}} = -\frac{1}{2}
\]

Заметим, что \(m(pq) \cdot m(rs) = 2 \cdot 2 = 4\) и \(m(qr) \cdot m(ps) = -\frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).

Таким образом, произведение коэффициентов наклона сторон не равно -1. Следовательно, треугольник pqrs не является прямоугольником.

Надеюсь, этот шаг за шагом разбор помог вам понять, как мы проанализировали треугольник и пришли к выводу, что он не является прямоугольником. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!