Соотнесите треугольники с их описанными (r) и вписанными (r) радиусами окружностей

Лина

44

Конечно! Давайте начнем с объяснения понятий описанной и вписанной окружностей.

Описанная окружность треугольника — это окружность, которая проходит через все вершины треугольника. Одновременно она является ортогональной биссектрисе всех углов треугольника. Радиус описанной окружности обозначается как \( R \).

Вписанная окружность треугольника — это окружность, которая касается всех сторон треугольника внутренним образом. Центр вписанной окружности находится в пересечении биссектрис всех углов треугольника. Радиус вписанной окружности обозначается как \( r \).

Теперь, когда мы разобрались с терминологией, давайте соотнесем треугольники с их описанными и вписанными радиусами окружностей.

1. Прямоугольный треугольник:
- Описанная окружность имеет радиус \( R = \frac{c}{2} \), где \( c \) - гипотенуза треугольника.
- Вписанная окружность имеет радиус \( r = \frac{a + b - c}{2} \), где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника, а \( c \) - гипотенуза.

2. Равносторонний треугольник:
- Описанная окружность имеет радиус \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( a \) - длина любой стороны треугольника.
- Вписанная окружность имеет радиус \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \), где \( a \) - длина любой стороны треугольника.

3. Равнобедренный треугольник:
- Описанная окружность имеет радиус \( R = \frac{b}{2\sin{\frac{A}{2}}} \), где \( b \) - длина основания, \( A \) - угол при вершине, и \( \sin \) - синус угла.
- Вписанная окружность имеет радиус \( r = \frac{b}{2\tan{\frac{A}{2}}} \), где \( b \) - длина основания, \( A \) - угол при вершине, и \( \tan \) - тангенс угла.

4. Произвольный треугольник:
- Описанная окружность и вписанная окружность могут быть вычислены, используя формулы Герона для площади треугольника.

Надеюсь, эта информация поможет вам понять соотношение треугольников с их описанными и вписанными радиусами окружностей. Если у вас возникнут какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!