1. Какова площадь круга, если его диаметр составляет 6см? 2. Если площади двух подобных многоугольников пропорциональны

Oleg_5147

5

1. Площадь круга можно найти по формуле \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14, а \(r\) - радиус круга.
В данной задаче нам дан диаметр круга, который равен 6 см. Для нахождения радиуса, нужно разделить диаметр на 2: \(r = \frac{6}{2} = 3\) (см).
Подставляем найденное значение радиуса в формулу площади и получаем: \(S = 3.14 \cdot 3^2 = 3.14 \cdot 9 = 28.26\) (см²).
Ответ: площадь круга равна около 28.26 квадратных сантиметров.

2. Если площади двух подобных многоугольников пропорциональны числам 9 и 10, то соотношение их площадей можно записать как \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{10}\), где \(S_1\) - площадь первого многоугольника, а \(S_2\) - площадь второго многоугольника.

Также нам известно, что периметр одного из многоугольников на 10 см больше периметра другого. Пусть \(P_1\) и \(P_2\) - периметры соответствующих многоугольников.
Запишем это в виде уравнения: \(P_1 = P_2 + 10\).

Для решения этой задачи нам также потребуется знание дополнительного свойства подобных многоугольников: соотношение длин их сторон равно соотношению площадей, значит, соотношение периметров равно \(\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}\).

Из условия задачи у нас имеется система уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{10} \\
P_1 = P_2 + 10 \\
\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}
\end{cases}
\]

Находим значение \(P_1\) из второго уравнения, подставляем его в третье уравнение и решаем относительно \(P_2\). Также можем выразить \(S_1\) через \(S_2\) из первого уравнения:

\[
\begin{cases}
\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{10} \\
P_1 = P_2 + 10 \\
\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
S_1 = \frac{9}{10}S_2 \\
P_1 = P_2 + 10 \\
\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{9}{10}}
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
S_1 = \frac{9}{10}S_2 \\
P_1 = P_2 + 10 \\
\frac{P_1}{P_2} = \frac{3}{\sqrt{10}}
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
S_1 = \frac{9}{10}S_2 \\
P_1 = P_2 + 10 \\
\frac{P_1}{P_2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}
\end{cases}
\]

Решая данную систему уравнений, мы найдем значения периметров \(P_1\) и \(P_2\).

3. Для нахождения площади сектора, соответствующего углу 45º в центре, если радиус круга равен 4 см, нам понадобятся следующие формулы:

- Длина дуги сектора \(L = \frac{{2 \pi r \theta}}{360}\), где \(L\) - длина дуги, \(r\) - радиус круга, а \(\theta\) - угол, на который отклоняется дуга от 360º.
- Площадь сектора \(S = \frac{L \pi r}{360}\), где \(S\) - площадь сектора.

В данной задаче у нас дан радиус круга \(r = 4\) см, а угол сектора \(\theta = 45º\). Подставляем значения в формулы:

Длина дуги сектора: \(L = \frac{{2 \pi \cdot 4 \cdot 45}}{360} = \frac{{180 \pi}}{360} = \frac{{\pi}}{2}\) (см).

Площадь сектора: \(S = \frac{{\frac{{\pi}}{2} \cdot \pi \cdot 4}}{360} = \frac{{2 \pi^2}}{360} = \frac{{\pi^2}}{180}\) (см²).

Ответ: площадь сектора, соответствующего углу 45º в центре круга радиусом 4 см, равна \(\frac{{\pi^2}}{180}\) квадратных сантиметров.

4. Чтобы найти площадь вписанного круга в треугольник со сторонами 10 см, 24 см и 26 см, мы можем использовать следующую формулу:

Площадь треугольника равна полупериметру треугольника, умноженному на радиус вписанного круга. То есть, \(S_{\text{треугольника}} = \frac{{a + b + c}}{2} \cdot r\), где \(S_{\text{треугольника}}\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, а \(r\) - радиус вписанного круга.

В данной задаче у нас стороны треугольника \(a = 10\) см, \(b = 24\) см и \(c = 26\) см. Найдем полупериметр треугольника:

\(\frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{10 + 24 + 26}}{2} = \frac{{60}}{2} = 30\) (см).

Теперь найдем площадь треугольника по формуле:

\(S_{\text{треугольника}} = 30 \cdot r\).

Ответ: площадь вписанного круга в треугольник со сторонами 10 см, 24 см и 26 см равна 30 квадратных сантиметров умножить на радиус вписанного круга.