Сопоставьте корень каждому из следующих уравнений: 1. 13 - 2 log9(4x-6)=log9(x-12) 2. log5(3x-5)=log5(x-3

Raduga

68

Давайте решим каждое уравнение по очереди и найдем соответствующие корни.

1. Рассмотрим первое уравнение: \(13 - 2 \log_9(4x-6) = \log_9(x-12)\).
Чтобы решить это уравнение, мы сначала избавимся от логарифмов, а затем найдем значение \(x\).

По правилу логарифмов \(\log_a(b) = c\) эквивалентно \(a^c = b\).
Применим это правило к данным уравнениям:
\[9^{\log_9(x-12)} = x-12\]
\[9^{2 \log_9(4x-6)} = (4x-6)^2\]

После замены получаем: \(13 - (4x-6)^2 = (x-12)\).
Разворачиваем квадрат - \((4x-6)^2 = (4x-6)(4x-6) = 16x^2 - 48x + 36\).
Подставляем эту стандартную запись в начальное уравнение и решаем:
\[13 - (16x^2 - 48x + 36) = (x-12)\]
\[13 - 16x^2 + 48x - 36 = x - 12\]
\[-16x^2 + 47x - 23 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно попробовать решить через формулу дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac = 47^2 - 4(-16)(-23) = 47^2 - 4 \cdot 16 \cdot 23 = 2209 - 1472 = 737\]

Если \(D > 0\), у уравнения есть два корня:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-47 \pm \sqrt{737}}{-32}\]

Подставляя значения, получаем:
\[x_1 = \frac{-47 + \sqrt{737}}{-32}\]
\[x_2 = \frac{-47 - \sqrt{737}}{-32}\]

2. Рассмотрим второе уравнение: \(\log_5(3x-5) = \log_5(x-3)\).
Чтобы решить это уравнение, мы будем использовать то же самое правило логарифмов, что в первом уравнении:
\(5^{(\log_5(3x-5))} = (3x-5)\) и \(5^{(\log_5(x-3))} = (x-3)\).

Теперь у нас два выражения, равные друг другу:
\[(3x-5) = (x-3)\]

Решаем уравнение:
\[3x - 5 = x - 3\]
\[2x = 2\]
\[x = 1\]

Таким образом, корень этого уравнения равен 1.

3. Рассмотрим третье уравнение: \(\log_3(2x+1) = 3\).
Применяя правило логарифмов, мы получаем:
\(3^3 = (2x+1)\).

Решаем полученное уравнение:
\(27 = 2x + 1\)
\(2x = 27 - 1\)
\(2x = 26\)
\(x = 13\)

Таким образом, корень этого уравнения равен 13.

4. Рассмотрим четвертое уравнение: \(\log_{0.2}(x+7) = -3\).
Применяя правило логарифмов, получаем:
\(0.2^{-3} = (x+7)\).

Решаем полученное уравнение:
\(0.2^{-3} = (x+7)\)
\(125 = x + 7\)
\(x = 125 - 7\)
\(x = 118\)

Таким образом, корень этого уравнения равен 118.

Итак, корни для каждого из уравнений:
1. \(x_1 = \frac{-47 + \sqrt{737}}{-32}\) и \(x_2 = \frac{-47 - \sqrt{737}}{-32}\)
2. \(x = 1\)
3. \(x = 13\)
4. \(x = 118\)