Сопоставьте показательное уравнение с методом его решения

Тимка

70

Конечно! Давайте рассмотрим задачу и решение по шагам.

Задача: Сопоставьте показательное уравнение с методом его решения.

1. Показательное уравнение \(a^x = b\).
Метод решения: Логарифмирование. Берем логарифм от обеих частей уравнения по основанию \(a\). Получаем уравнение \(\log_a(a^x) = \log_a(b)\). По свойству логарифма \(\log_a(a^x) = x\), поэтому уравнение принимает вид \(x = \log_a(b)\).

2. Показательное уравнение \(a^x = a^y\).
Метод решения: Применение свойства равенства степеней с одинаковым основанием. Если две степени с одинаковым основанием равны, то их показатели тоже равны. Таким образом, получаем уравнение \(x = y\).

3. Показательное уравнение \(a^x \cdot a^y = a^z\).
Метод решения: Применение свойства умножения степеней с одинаковым основанием. По этому свойству, при перемножении степеней с одинаковым основанием, показатели суммируются. В данном случае, \(x + y = z\).

4. Показательное уравнение \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = c\).
Метод решения: Применение свойства возведения в степень дроби. Если дробь возводится в степень, то и числитель, и знаменатель возводятся в эту степень. Итак, получаем уравнение \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \left(\dfrac{a^x}{b^x}\right) = c\). Чтобы решить это уравнение, возведем обе части в степень \(\log_{\frac{a}{b}}c\). Получим \(a^x = b^x \cdot c\), а затем решаем это уравнение по методу из пункта 2.

5. Показательное уравнение \(a^x \cdot b^x = c\).
Метод решения: Применение свойства умножения степеней с разными основаниями. Когда у нас есть умножение степеней с разными основаниями, всё, что нужно сделать - это привести каждое основание к общему основанию. В данном случае, можно записать это уравнение как \((a \cdot b)^x = c\), и затем воспользоваться обратным свойством степени, чтобы получить \(x = \log_{a \cdot b}c\).

Надеюсь, эти пояснения помогли вам понять, как сопоставить показательное уравнение с методом его решения.