Составьте уравнение для касательной к параболе y=x^2+6x-5 в точке с координатой x0=4

Vladislav

56

Хорошо, давайте составим уравнение для касательной к параболе \(y=x^2+6x-5\) в точке с координатой \(x_0=4\).

Шаг 1: Найдем производную функции \(y=x^2+6x-5\). Для этого нужно взять производную каждого члена уравнения по отдельности.

По правилу производной степенной функции \(f(x)=x^n\), где \(n\) - любое действительное число, производная равна \(f"(x)=n\cdot x^{n-1}\).

Применяя это правило к каждому члену уравнения, получим:
\[y"= (x^2)" + (6x)" - (5)"\]
\[y"= 2x + 6 - 0\]
\[y"= 2x + 6\]

Шаг 2: Найдем значение производной функции в точке \(x_0=4\), чтобы найти угловой коэффициент касательной линии. Подставим \(x=4\) в выражение для \(y"\):
\[y"(4) = 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14\]

Шаг 3: Используем найденный угловой коэффициент касательной линии, чтобы найти точку, через которую она проходит. Подставим значение \(x_0\) и \(y_0\) в уравнение касательной линии \(y-y_0 = m \cdot (x-x_0)\), где \(m\) - угловой коэффициент. Для \(y_0\) подставим значение функции из начального уравнения при \(x_0\):
\[y_0 = 4^2 + 6(4) - 5 = 16 + 24 - 5 = 35\]

Теперь, зная координаты точки \(x_0\) и \(y_0\) и угловой коэффициент \(m\), можем записать уравнение касательной линии:
\[y-35 = 14 \cdot (x-4)\]

Ответ: Уравнение для касательной к параболе \(y=x^2+6x-5\) в точке с координатой \(x_0=4\) - \(y-35 = 14 \cdot (x-4)\).