Состоит группа из 10 мальчиков и 10 девочек. Есть необходимость выбрать 5 человек для дежурства на вечере через

Карина_5390

30

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и вероятность. Всего в группе 10 мальчиков и 10 девочек. Мы должны выбрать 5 человек для дежурства на вечере, и нас интересует вероятность того, что все выбранные будут мальчиками.

Сначала посмотрим, сколько всего способов выбрать 5 человек из группы из 20 человек. Это можно посчитать с помощью комбинаторики. Мы можем использовать сочетания и обозначить это как \(\binom{n}{k}\), где \(n\) - общее количество объектов, а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем. В данном случае это будет \(\binom{20}{5}\).

Теперь посмотрим, сколько способов выбрать 5 мальчиков из группы из 10 мальчиков. Это можно посчитать также с помощью сочетаний, и это будет \(\binom{10}{5}\).

Итак, вероятность того, что все выбранные будут мальчиками, составляет отношение числа способов выбрать 5 мальчиков ко всем возможным способам выбрать 5 человек. Мы можем записать это в виде:

\[
P(\text{{все мальчики}}) = \frac{{\binom{10}{5}}}{{\binom{20}{5}}}
\]

Давайте теперь вычислим эту вероятность.

\[
P(\text{{все мальчики}}) = \frac{{10!}}{{5! \cdot (10-5)!}} \div \frac{{20!}}{{5! \cdot (20-5)!}}
\]

Упрощая эту дробь, мы получим:

\[
P(\text{{все мальчики}}) = \frac{{10! \cdot 15!}}{{10! \cdot 5! \cdot 20!}} = \frac{{15!}}{{5! \cdot 20!}}
\]

Сокращая факториалы, мы получим:

\[
P(\text{{все мальчики}}) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}}
\]

Сокращая, некоторые факториалы сокращаются:

\[
P(\text{{все мальчики}}) = \frac{{11 \cdot 13 \cdot 14}}{{\frac{{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}}}
\]

Упрощая дробь, мы получим:

\[
P(\text{{все мальчики}}) = \frac{{11 \cdot 13 \cdot 14}}{{\frac{{20!}}{{15!}}}}
\]

Сокращая факториалы, мы получим:

\[
P(\text{{все мальчики}}) = \frac{{11 \cdot 13 \cdot 14}}{{16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20}}
\]

Теперь мы можем рассчитать числовое значение этой вероятности, подставив числа в формулу:

\[
P(\text{{все мальчики}}) = \frac{{11 \cdot 13 \cdot 14}}{{16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20}} \approx 0.03215
\]

Итак, вероятность того, что все выбранные будут мальчиками, примерно равна 0.03215 или около 3.2%.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как мы пришли к ответу и как использовали комбинаторику и вероятность для решения данной задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!