Среди 15 сбербанков, 7 находятся за городом. Из них случайным образом отобраны 6 сбербанков. Какова вероятность того

Konstantin

8

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать метод комбинаторики и применить формулу вероятности.

Дано:
Всего существует 15 сбербанков, из которых 7 находятся за городом.
Случайным образом выбираются 6 сбербанков.

Нам нужно найти вероятность того, что среди отобранных 2 сбербанка будет один за городом.

Шаг 1: Найдем общее количество возможных комбинаций выбора 6 из 15 сбербанков используя формулу сочетаний:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
где \(n\) - общее количество элементов, \(k\) - количество выбранных элементов.

Применив эту формулу для нашей задачи, получим:
\(\binom{15}{6} = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005\)

Таким образом, всего существует 5005 различных комбинаций выбора 6 сбербанков из 15.

Шаг 2: Найдем количество благоприятных исходов, когда среди отобранных 6 сбербанков будет ровно 2 за городом. Мы можем выбрать 2 за городом сбербанка из 7 и оставить 4 остальных сбербанка из 8, находящихся в городе. Это можно делать \(\binom{7}{2}\) способами для за городом сбербанков и \(\binom{8}{4}\) способами для городских сбербанков.

\(\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)

\(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70\)

Таким образом, всего существует \(21 \times 70 = 1470\) благоприятных исходов выбора 6 сбербанков, среди которых ровно 2 за городом.

Шаг 3: Найдем вероятность благоприятного исхода, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных комбинаций выбора:
Вероятность = \(\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество комбинаций выбора}}\)

Вероятность = \(\frac{1470}{5005} \approx 0.293\)

Таким образом, вероятность того, что среди отобранных 6 сбербанков будет один за городом составляет около 0,293, или примерно 29,3%.