Стороны параллелограмма имеют длину 6 см и 4 см, а угол между ними составляет 120°. Какова длина диагоналей

Izumrud_3396

60

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему косинусов.
Теорема косинусов гласит: в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Итак, у нас есть параллелограмм ABCD, где стороны AB и AD равны 6 см и 4 см соответственно, а угол BAD равен 120°.

Для начала, давайте найдем длину стороны BC параллелограмма ABCD. Мы знаем, что BC = AD = 4 см.

Теперь, чтобы найти длину диагоналей AC и BD, мы можем использовать теорему косинусов для треугольников ABD и ADC.

Для треугольника ABD, где стороны AB и AD равны 6 см и 4 см соответственно, а угол между ними равен 120°, мы можем записать теорему косинусов следующим образом:

\[AB^2 = BD^2 + AD^2 - 2 \cdot BD \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)\]

Подставляем известные значения:

\[6^2 = BD^2 + 4^2 - 2 \cdot BD \cdot 4 \cdot \cos(120°)\]

\[36 = BD^2 + 16 - 8 \cdot BD \cdot \cos(120°)\]

\[36 - 16 = BD^2 - 8 \cdot BD \cdot \cos(120°)\]

\[20 = BD^2 - 8 \cdot BD \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[20 = BD^2 + 4BD\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить для нахождения значения BD.

\[BD^2 + 4BD - 20 = 0\]

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта.

\[D = b^2 - 4ac\]

где a = 1, b = 4 и c = -20.

\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot -20\]

\[D = 16 + 80\]

\[D = 96\]

Теперь, найдя значение дискриминанта, мы можем найти значения BD, которые являются корнями квадратного уравнения:

\[BD = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[BD = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}\]

\[BD = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{2}\]

\[BD = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{2}\]

\[BD = -2 \pm 2\sqrt{6}\]

Теперь у нас есть два возможных значения для BD: -2 + 2√6 см и -2 - 2√6 см.

Однако, так как длина стороны не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение:

BD = -2 + 2√6 см

Теперь, чтобы найти длину диагонали AC, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ADC.

Применяя теорему косинусов к треугольнику ADC, учитывая, что стороны AD и DC равны 4 см, а угол между ними равен 120°:

\[AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(\angle ADC)\]

Подставляем известные значения:

\[AC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(120°)\]

\[AC^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[AC^2 = 16 + 16 + 16\]

\[AC^2 = 48\]

Получили, что AC^2 = 48. Чтобы найти точное значение AC, мы можем извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[AC = \sqrt{48}\]

\[AC = \sqrt{16 \cdot 3}\]

\[AC = 4\sqrt{3}\]

Итак, длина диагонали AC параллелограмма ABCD равна 4√3 см, а длина диагонали BD равна -2 + 2√6 см.