Task №2.1. Given f(x)=−2x^2 + 3x − 3, a=-2, b=-1, eps=0.01 1) Separate the roots analytically. 2) Separate the roots

Raisa_8711

22

Решим данную задачу шаг за шагом:

1) Для начала, разделим исходное уравнение на множитель -1, чтобы коэффициент при \(x^2\) был положительным:
\[f(x) = 2x^2 - 3x + 3\]

Теперь найдем корни аналитически. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае a = 2, b = -3, c = 3:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15\]

Так как дискриминант отрицательный, то получаем, что уравнение не имеет действительных корней.

2) Для того, чтобы найти корни с помощью метода бисекции, сначала нам необходимо выбрать интервал, на котором производится поиск. Будем использовать интервал от a = -2 до b = -1.

Теперь приступим к самому методу. Сначала найдем значение функции в точках \(a\) и \(b\):

\[f(a) = 2 \cdot (-2)^2 - 3 \cdot (-2) + 3 = 2 \cdot 4 + 6 + 3 = 8 + 6 + 3 = 17\]
\[f(b) = 2 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 3 = 2 \cdot 1 + 3 + 3 = 2 + 3 + 3 = 8\]

Значения функции в точках \(a\) и \(b\) имеют разные знаки, что позволяет нам утверждать, что на данном интервале корень у уравнения \(f(x) = 2x^2 - 3x + 3\) существует.

Следующим шагом метода бисекции является нахождение середины интервала и вычисление значения функции в этой точке.

Середина интервала: \(c = \frac{{a + b}}{2} = \frac{{-2 + (-1)}}{2} = \frac{{-3}}{2} = -1.5\)

Значение функции: \(f(c) = 2 \cdot (-1.5)^2 - 3 \cdot (-1.5) + 3 = 2 \cdot 2.25 + 4.5 + 3 = 4.5 + 4.5 + 3 = 12\)

Теперь мы имеем два значения функций: \(f(a) = 17\) и \(f(c) = 12\), которые имеют разные знаки. В соответствии с методом бисекции, выбирается новый интервал, на котором будет происходить поиск.

В данном случае, новый интервал будет следующим: от \(a\) до \(c\).

Мы продолжаем делить интервал пополам до тех пор, пока разность значений функции в середине интервала и одном из концов интервала не станет меньше заданной точности. Когда это произойдет, значит, мы нашли близкий к заданной точности корень уравнения.

3) Для графического нахождения корней построим график функции \(f(x) = 2x^2 - 3x + 3\).

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-2 & 17 \\
\hline
-1 & 8 \\
\hline
0 & 3 \\
\hline
1 & 2 \\
\hline
2 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]

Из графика видно, что функция проходит через ось \(x\) между точками \(x = 0\) и \(x = 1\). Следовательно, у нашего уравнения имеется корень в этом интервале.

4) Для того, чтобы уточнить корень на графике, воспользуемся методом бисекции.

Проведем вертикальную прямую, которая исходит из середины отрезка \(x = 0\) до \(x = 1\).

Находим середину отрезка:

\(c = \frac{{0 + 1}}{2} = \frac{1}{2} = 0.5\)

Находим значение функции в середине отрезка \(f(c)\):

\(f(c) = 2 \cdot (0.5)^2 - 3 \cdot (0.5) + 3 = 2 \cdot 0.25 - 1.5 + 3 = 0.5 - 1.5 + 3 = 2\)

Значение функции \(f(c)\) имеет разный знак с \(f(0)\), что говорит о том, что на отрезке между 0 и 0.5 находится корень у уравнения \(f(x) = 2x^2 - 3x + 3\).

Мы можем продолжать делить интервал между 0 и 0.5 пополам, пока не достигнем заданной точности 0.01. Ответ будет находиться между двумя соседними точками.

Данным методом можно находить более точный корень у уравнения \(f(x) = 2x^2 - 3x + 3\) с заданной точностью 0.01.