Требуется: Доказать, что отрезок MB перпендикулярен плоскости ABC, а также AC перпендикулярна плоскости. Исходные

Zolotoy_Orel

36

Чтобы доказать, что отрезок MB перпендикулярен плоскости ABC, нам нужно показать, что вектор, отрезающий от точки B до точки M (вектор BM), ортогонален вектору, лежащему в этой плоскости. То же самое необходимо сделать для отрезка AC.

Используя координаты точек A, B, C и M, мы можем найти векторы AB, BC и BM. Затем, используя свойства скалярного произведения векторов, мы сможем определить, перпендикулярен ли каждый отрезок плоскости ABC.

Давайте начнем с расчета векторов AB, BC и BM.

Вектор AB можно найти как разность координат точек A и B. Предполагая, что точка A имеет координаты (x1, y1, z1), а точка B имеет координаты (x2, y2, z2), вектор AB будет иметь следующие компоненты:

\[
\overrightarrow{AB} = \langle x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 \rangle
\]

В нашем случае, AB будет иметь следующие компоненты:

\[
\overrightarrow{AB} = \langle 0 - 7, 0 - 0, 0 - 0 \rangle = \langle -7, 0, 0 \rangle
\]

Аналогично, вектор BC будет иметь следующие компоненты:

\[
\overrightarrow{BC} = \langle x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2 \rangle
\]

\[
\overrightarrow{BC} = \langle 0 - 3, 0 - 0, 0 - 0 \rangle = \langle -3, 0, 0 \rangle
\]

И, наконец, вектор BM:

\[
\overrightarrow{BM} = \langle xM - x2, yM - y2, zM - z2 \rangle
\]

Здесь (xM, yM, zM) - координаты точки M. В нашем случае, BM будет иметь следующие компоненты:

\[
\overrightarrow{BM} = \langle xM - 3, yM - 0, zM - 0 \rangle
\]

Далее, мы должны проверить ортогональность векторов AB, BC и BM плоскости ABC. Для этого мы можем взять их скалярное произведение и убедиться, что оно равно нулю.

Скалярное произведение двух векторов a и b вычисляется следующим образом:

\[
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z
\]

Где a_x, a_y, a_z - компоненты вектора a, b_x, b_y, b_z - компоненты вектора b.

Применяя это к нашей задаче, мы можем проверить, перпендикулярны ли векторы AB, BC и BM плоскости ABC.

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-7) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 21 + 0 + 0 = 21
\]

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BM} = (-7) \cdot (xM - 3) + 0 \cdot yM + 0 \cdot zM = -7xM + 21
\]

\[
\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BM} = (-3) \cdot (xM - 3) + 0 \cdot yM + 0 \cdot zM = -3xM + 9
\]

Теперь, чтобы доказать перпендикулярность отрезка MB плоскости ABC, нам нужно убедиться, что скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BM}\) равно нулю. Учитывая исходные данные и информацию о длинах отрезков MB и AM, мы можем записать:

\[
-7xM + 21 = 0
\]

\[
xM = \frac{21}{7} = 3
\]

Таким образом, x-координата точки M равна 3. Это означает, что точка M имеет координаты (3, yM, zM).

Теперь давайте рассмотрим второе утверждение: AC перпендикулярна плоскости ABC.

Для этого мы должны проверить, перпендикулярны ли векторы AB, BC и AC плоскости ABC. У нас уже есть векторы AB и BC, поэтому остается вычислить вектор AC.

Вектор AC можно вычислить, используя координаты точек A и C:

\[
\overrightarrow{AC} = \langle x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1 \rangle
\]

\[
\overrightarrow{AC} = \langle 0 - 7, 0 - 0, 0 - 0 \rangle = \langle -7, 0, 0 \rangle
\]

Теперь мы можем проверить перпендикулярность векторов AB, BC и AC плоскости ABC:

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-7) \cdot (-7) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 49 + 0 + 0 = 49
\]

\[
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = (-7) \cdot (-3) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 21 + 0 + 0 = 21
\]

Мы видим, что в обоих случаях скалярное произведение не равно нулю, поэтому отрезок MB и отрезок AC не являются перпендикулярными плоскости ABC.

Таким образом, мы доказали, что отрезок MB не перпендикулярен плоскости ABC, а также отрезок AC не перпендикулярен плоскости.