Требуется доказать, что сумма обратных величин AC и AD равна обратной величине AB для вписанного в окружность

Ivan

48

Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся свойствами вписанного многоугольника и понятием обратной величины.

Во-первых, обратная величина \(x\) определяется как число, при умножении которого на \(x\) получается единица. Иными словами, если \(x\) - обратная величина, то \(x \cdot \frac{1}{x} = 1\).

Во-вторых, то что нас интересует - это сумма обратных величин. Сумма обратных величин \(x\) и \(y\) будет равна обратной величине суммы \(x\) и \(y\), если она существует. Иными словами, если \(x\) и \(y\) - обратные величины, то \((x+y) \cdot (x+y)^{-1} = 1\).

Теперь приступим к доказательству. У нас есть вписанный в окружность семиугольник ABCDEFG, у которого все стороны равны. Пусть \(AB = BC = CD = DE = EF = FG = AG = a\).

Обозначим через \(AB\) длину стороны \(AB\), через \(AC\) - длину диаметра, а через \(AD\) - длину высоты, опущенной из вершины \(A\) на сторону \(BC\).

Согласно свойствам вписанного многоугольника, угол \(BAC\) является прямым углом. Поскольку \(AC\) является диаметром окружности, угол \(CAG\) тоже является прямым углом.

Теперь рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\). Так как у них две пары соответственных сторон равны (сторона \(AB\) равна стороне \(DA\), и сторона \(AC\) равна стороне \(AC\)), по признаку равенства треугольников углы \(\angle BAC\) и \(\angle DCA\) также равны.

Таким образом, мы получили два прямых угла - \(\angle BAG\) и \(\angle DAG\) - имеющих общую сторону \(AG\), что означает, что треугольники \(AGB\) и \(AGD\) - прямоугольные треугольники.

В прямоугольном треугольнике отношение катета к гипотенузе является обратной величиной. Поскольку сторона \(AB\) - гипотенуза треугольника \(AGB\), а сторона \(AC\) - катет, мы можем записать, что \(\frac{1}{AC} = \frac{1}{AB}\).

Аналогично, в треугольнике \(AGD\), где сторона \(AD\) является гипотенузой, а сторона \(AC\) - катетом, мы получаем \(\frac{1}{AD} = \frac{1}{AC}\).

Теперь сложим обе полученные равенства:

\(\frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = \frac{1}{AB}\)

Мы получили, что сумма обратных величин \(AC\) и \(AD\) равна обратной величине \(AB\). Таким образом, заданное утверждение доказано.