Требуется найти площадь меньшего из двух треугольников, образованных делением треугольника ABC отрезком DB. Известно

Zagadochnyy_Magnat

63

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться двумя свойствами треугольников - подобием и отношением площадей.

1. Подобие треугольников:
По условию, треугольник АВС разделен отрезком DB. Из свойств подобных треугольников следует, что треугольники АВD и СBD также подобны треугольнику ABC.
Из подобия треугольников, отношение соответствующих сторон равно отношению площадей этих треугольников:

\[\frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC} = \frac{BD}{AC}\]
Так как известно, что сторона AC равна 5 см, а сторона DC равна 13 см, то можно выразить отношение сторон AD и DC следующим образом:

\[\frac{AD}{AC} = \frac{AC - DC}{AC} = \frac{5 - 13}{5} = \frac{-8}{5} = -\frac{8}{5}\]

2. Отношение площадей треугольников:
Для треугольников, подобных друг другу, отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон. То есть:

\[\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{AD}{AC}\right)^2 = \left(-\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{64}{25}\]

3. Нахождение площади меньшего треугольника:
Мы знаем, что площадь треугольника ABC составляет 162 см², связь между площадями треугольников и их сторонами позволяет нам найти площадь меньшего треугольника следующим образом:

\[\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{S_{\triangle ABD}}{162} = \frac{64}{25}\]
Решим это уравнение относительно площади треугольника ABD:

\[S_{\triangle ABD} = \frac{64}{25} \cdot 162\]
\[S_{\triangle ABD} = \frac{64 \cdot 162}{25}\]
\[S_{\triangle ABD} = \frac{10368}{25}\]
\[S_{\triangle ABD} = 414.72\]

Таким образом, площадь меньшего треугольника, образованного делением треугольника ABC отрезком DB, составляет \(414.72\) квадратных сантиметра.