Требуется определить, является ли последовательность, заданная формулой n-го числа bn=2^1+n * 5^1-n, бесконечно

Magicheskiy_Tryuk

37

Хорошо, давайте рассмотрим данную последовательность более подробно. Для этого нам понадобится выразить каждый член последовательности \(b_n\) в явном виде и проверить условие бесконечного убывания арифметической прогрессии.

Данная последовательность задается формулой \(b_n = 2^{1+n} \cdot 5^{1-n}\).

Для определения типа последовательности, рассмотрим разность соседних членов последовательности:

\[
b_{n+1} - b_n = \left(2^{1+(n+1)} \cdot 5^{1-(n+1)}\right) - \left(2^{1+n} \cdot 5^{1-n}\right)
\]

Давайте раскроем скобки и упрости каждое слагаемое:

\[
b_{n+1} - b_n = \left(2 \cdot 2^n \cdot 5 \cdot 5^{-n}\right) - \left(2^{1+n} \cdot 5^{1-n}\right)
\]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[
b_{n+1} - b_n = 2 \cdot 2^n \cdot 5 \cdot 5^{-n} - 2 \cdot 2^n \cdot 5 \cdot 5^{-n}
\]

Заметим, что каждое слагаемое равно, поэтому разность равна нулю:

\[
b_{n+1} - b_n = 0
\]

Таким образом, разность соседних членов равна нулю в любой позиции \(n\). Это означает, что все члены последовательности равны между собой, исключая, возможно, первый член.

Получается, что данный ряд является постоянной последовательностью или арифметической прогрессией с разностью 0.

Ответ: Данная последовательность \(b_n = 2^{1+n} \cdot 5^{1-n}\) является бесконечно убывающей арифметической прогрессией с разностью равной 0.