Triangle ABC is right-angled, with angle A = 60° and AB = 4 dm. Calculate the sides of the triangle and the radius

Ledyanoy_Drakon

23

Хорошо, чтобы решить данную задачу, мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника. Мы знаем, что угол A равен 60° и сторона AB равна 4 дм. Давайте посмотрим на пошаговое решение:

1. Найдем угол B. Так как сумма углов треугольника равна 180°, и угол A равен 60°, то угол B равен 90° - 60° = 30°.
2. Теперь мы можем найти сторону BC с помощью теоремы синусов. По теореме синусов, отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно величине радиуса описанной окружности.
Таким образом, \(\frac{{BC}}{{\sin{B}}} = 2R\).
Подставляя значения \(\sin{B} = \sin{30°}\) и \(R\) в нашу формулу, у нас получается \(\frac{{BC}}{{\frac{1}{2}}} = 2R\).
Для удобства, давайте перепишем это в виде \(BC = 4R\).
3. Теперь мы можем найти сторону AC с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике BC - прямой угол, поэтому у нас есть \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
Подставим значения \(AB = 4\) и \(BC = 4R\) и получим \(AC^2 = 4^2 + (4R)^2 = 16 + 16R^2\).
4. Так как треугольник ABC прямоугольный, у нас есть \(AC = 2R\) (так как радиус описанной окружности в два раза больше АС).
Подставляем этот результат в предыдущее уравнение, получаем \(4R^2 = 16 + 16R^2\).
5. Переносим все члены с переменной R на одну сторону и все числовые значения на другую, получаем \(16R^2 - 4R^2 = 16\).
Упрощаем это уравнение, получаем \(12R^2 = 16\).
6. Делим обе стороны на 12, получаем \(R^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\).
7. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон, получаем \(R = \sqrt{\frac{4}{3}}\).
8. Упрощаем корень, получаем \(R = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\).

Таким образом, стороны треугольника равны \(AB = 4\) дм, \(BC = 4R = 4 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\) дм и \(AC = 2R = 2 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) дм, а радиус R описанной окружности равен \(R = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) дм.