ТВ 14. Сколько километров туристы прошли за 7 дней, если они прошли определенное количество километров в первый день

Пугающий_Шаман

50

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть в первый день туристы прошли \(x\) километров. Тогда во второй день они прошли на \(x-1\) километр меньше, в третий день — на \(x-2\) километра меньше, и так далее.

За первые 4 дня туристы прошли \((x + (x-1) + (x-2) + (x-3))\) километров, что составляет сумму арифметической прогрессии. Можно выразить эту сумму следующим образом:

\((x + (x-1) + (x-2) + (x-3)) = 4x - 6\)

Мы знаем, что за последние 4 дня туристы прошли 76 километров, поэтому мы можем составить следующее уравнение:

\(4x - 6 = 76\)

Теперь решим это уравнение:

\(4x = 76 + 6\)

\(4x = 82\)

\(x = \frac{82}{4}\)

\(x = 20.5\)

Значит, в первый день туристы прошли 20.5 километров.

Чтобы найти общее расстояние, которое они прошли за 7 дней, мы должны сложить расстояния за все дни:

\(20.5 + (20.5 - 1) + \ldots + (20.5 - 6)\)

Мы можем переписать это сумму с использованием арифметической прогрессии. Для этого нам нужно найти разность прогрессии, которую мы получим путем вычитания 1 из 20.5:

\((20.5 - 1) - 20.5 = 19.5\)

Разность прогрессии равна 19.5.

Теперь мы можем записать сумму с использованием формулы расчета суммы арифметической прогрессии:

\(S = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d)\)

где \(S\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

В нашем случае \(n = 7\), \(a = 20.5\) и \(d = -1\) (поскольку прогрессия убывает на 1).

Подставим значения и рассчитаем сумму:

\(S = \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 20.5 + (7-1) \cdot -1)\)

\(S = \frac{7}{2} \cdot (41 + 6 \cdot -1)\)

\(S = \frac{7}{2} \cdot (41 - 6)\)

\(S = \frac{7}{2} \cdot 35\)

\(S = \frac{7 \cdot 35}{2}\)

\(S = \frac{245}{2}\)

\(S = 122.5\)

Таким образом, туристы прошли 122.5 километров за 7 дней.

Ответ: Туристы прошли 122.5 километров за 7 дней.