У класі, в якому є 30 учнів, Петрик зробив 14 помилок у диктанті, що є більше, ніж кількість помилок будь-якого іншого

Shokoladnyy_Nindzya

43

Добро пожаловать в класс математики! Давайте решим эту интересную задачу.

Мы знаем, что в классе есть 30 учеников, и Петрик сделал 14 ошибок в диктанте, что больше, чем количество ошибок любого другого ученика.

Давайте предположим, что другой ученик сделал меньше ошибок, чем Петрик. Пусть этот ученик сделал \(n\) ошибок, где \(n\) меньше 14.

Теперь давайте рассмотрим все возможные варианты количества ошибок остальных учеников. Учитывая, что Петрик сделал 14 ошибок, остается \(30 - 1 = 29\) учеников, которые могут сделать ошибки.

Максимальное количество ошибок, которые может сделать любой ученик, это 13 (так как 14 ошибок уже делал Петрик). Таким образом, возможные варианты количества ошибок всех учеников будут: 0, 1, 2, ..., 13.

Заметим, что всего у нас есть 14 вариантов количества ошибок (0 до 13). Однако, у нас всего 29 оставшихся учеников. Так как количество вариантов больше количества учеников, по принципу Дирихле (хотя бы трое учеников сделали одинаковое количество ошибок) найдутся как минимум 2 ученика, сделавших одинаковое количество ошибок.

То есть, мы доказали, что как минимум 2 ученика сделали одинаковое количество ошибок. Однако, нам нужно показать, что как минимум 3 ученика сделали одинаковое количество ошибок.

Давайте рассмотрим наихудший случай, когда каждый из 13 вариантов количества ошибок (от 1 до 13) встречается у двух учеников. Тогда у нас будет 13 учеников с различными количествами ошибок и 2 ученика, сделавших одинаковое количество ошибок (наихудший вариант).

Теперь, чтобы доказать, что как минимум 3 ученика сделали одинаковое количество ошибок, давайте рассмотрим следующий случай:

Петрик сделал 14 ошибок.
Ученик A сделал 13 ошибок (наихудший вариант).
Ученик B сделал 13 ошибок (наихудший вариант).
Ученик C сделал 12 ошибок.
Ученик D сделал 12 ошибок.
...
Ученик Y сделал 2 ошибки.
Ученик Z сделал 2 ошибки.

В этом случае, у нас будет 13 учеников с различными количествами ошибок и 3 ученика (A, B, C), которые сделали одинаковое количество ошибок.

Таким образом, мы доказали, что как минимум 3 ученика сделали одинаковое количество ошибок.

Надеюсь, я смог подробно и понятно объяснить решение этой задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!