Каков диаметр основания и объем конуса, если площадь его полной поверхности составляет 243π м² и его осевое сечение

Skvoz_Pyl

43

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать некоторые свойства конусов.

Обозначим диаметр основания конуса как \(d\) и радиус как \(r\). Площадь полной поверхности конуса (\(S\)) можно найти по формуле:
\[S = \pi r (r + l)\]
где \(l\) - образующая конуса.

Также, для равностороннего треугольника, сторона равна произведению одной из его сторон на \(\sqrt{3}\). Обозначим сторону равностороннего треугольника как \(a\).

Из условия задачи, мы знаем, что площадь полной поверхности конуса равна \(243\pi \: \text{м}^2\) и осевое сечение является равносторонним треугольником. То есть:
\[S = 243\pi \: \text{м}^2\]
\[S = \pi r (r + l)\]
подставляем значения:
\[243\pi \: \text{м}^2 = \pi r (r + a)\]

Для нахождения диаметра основания (\(d\)), мы можем использовать соотношение \(d = 2r\). Таким образом:
\[d = 2r\]
\[\frac{d}{2} = r\]

Теперь мы можем заменить \(r\) в уравнении:
\[243\pi \: \text{м}^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right) \left(\frac{d}{2} + a\right)\]

Далее, нам нужно использовать формулу для объема конуса (\(V\)):
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
где \(h\) - высота конуса.

Мы знаем, что осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, поэтому высота конуса (\(h\)) равна \(\frac{\sqrt{3}}{2} a\).

Подставим наши значения в формулу для объема конуса:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right)\]
или
\[V = \frac{1}{6} \pi r^2 \sqrt{3} a\]

Таким образом, мы вывели две формулы:
1. Для площади полной поверхности: \(243\pi = \pi \left(\frac{d}{2}\right) \left(\frac{d}{2} + a\right)\)
2. Для объема: \(V = \frac{1}{6} \pi r^2 \sqrt{3} a\)

Теперь мы можем решить систему этих уравнений для нахождения значения диаметра основания (\(d\)) и объема (\(V\)). Я предоставлю промежуточные вычисления и окончательный ответ.