У нас есть симметричная монета, где выпадение орла или решки одинаково вероятно. Мы подбросили эту монету 5

Золотой_Горизонт_3621

50

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится применить формулу условной вероятности.

Предположим, что событие A означает выпадение "орла" при первых трех подбрасываниях монеты, а событие B - выпадение "решки" 2 раза из 5 подбрасываний.

Теперь можем перейти к решению задачи.

Событие A состоит из двух возможных исходов: либо "орел" выпал 3 раза, либо "орел" выпал 2 раза. Давайте рассмотрим каждый из этих случаев:

1) "Орел" выпал 3 раза: Вероятность такого события равна \(P(A_1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\), где каждая вероятность равна \(\frac{1}{2}\), поскольку выпадение "орла" или "решки" одинаково вероятно.

2) "Орел" выпал 2 раза: Для этого случая мы рассмотрим два подслучая:
а) "Орел" выпал на первых двух подбрасываниях, а на третьем подбрасывании выпало "решка". Вероятность такого события равна \(P(A_2a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\), так как на первых двух подбрасываниях выпадение "орла" вероятно так же, как и выпадение "решки", а на третьем подбрасывании выпадение "решки" равновероятно.
б) "Орел" выпал на первом подбрасывании, а на втором и третьем подбрасываниях выпало "решка". Вероятность такого события также равна \(P(A_2b) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\).

Теперь можем рассчитать вероятность выпадения "орла" при первых трех подбрасываниях, учитывая условие задачи (выпадение "решки" 2 раза):

\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

где \(P(A \cap B)\) - вероятность одновременного выпадения "орла" при первых трех подбрасываниях и "решки" 2 раза,
\(P(B)\) - вероятность выпадения "решки" 2 раза.

Вероятность \(P(A \cap B)\) равна сумме вероятностей всех возможных исходов, соответствующих событию А при условии B:

\(P(A \cap B) = P(A_1) + P(A_2a) + P(A_2b) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)

Вероятность \(P(B)\) равна вероятности выпадения "решки" 2 раза, т.е. \(P(B) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}\), где \(\binom{5}{2}\) - число сочетаний 2 выпадений "решки" из 5 подбрасываний.

Теперь подставим значения в формулу условной вероятности:

\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{5}{16}} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}\)

Таким образом, вероятность того, что "орел" выпал при первых трех подбрасываниях, при условии что "решка" выпала 2 раза, равна \(\frac{3}{5}\).