У равностороннего треугольника ABC, вписанного в окружность, случайным образом выбираются две точки D и E на этой

Владислав_2574

34

Давайте рассмотрим каждую часть задачи подробно.

а) Какова вероятность того, что отрезок DE будет иметь только одну общую точку с треугольником?

Для начала, давайте обратимся к геометрическим свойствам равностороннего треугольника. Мы знаем, что вписанный треугольник является равносторонним, а значит, все его стороны и углы равны между собой. Предположим, что точка D выбрана на окружности, которая проходит через точку A. В этом случае, отрезок DA будет являться стороной треугольника ABC.

Теперь мы должны выбрать точку E так, чтобы отрезок DE имел только одну общую точку с треугольником. Для этого, рассмотрим две возможных ситуации:

1. Точка E выбирается на той же дуге, что и точка D (и находится на той же полуокружности). В этом случае, отрезок DE будет пересекать только одну сторону треугольника ABC, ведь он будет расположен внутри треугольника.
2. Точка E выбирается на противоположной дуге, относительно точки D (и находится на другой полуокружности). В этой ситуации, отрезок DE будет пересекать две стороны треугольника ABC, ведь он будет выходить за пределы треугольника.

Теперь давайте рассмотрим вероятность каждой из этих ситуаций. Пусть \( r \) обозначает радиус окружности. Тогда длина дуги, на которой можно выбрать точку E для первой ситуации будет равна \( \frac{2\pi r}{3} \), а для второй ситуации - \( \frac{\pi r}{3} \) (так как вся окружность имеет длину \( 2\pi r \), а треугольник занимает \( \frac{1}{3} \) от окружности).

Теперь можно выразить вероятность каждой ситуации, используя формулы:

а) Вероятность того, что отрезок DE будет иметь только одну общую точку с треугольником, равна отношению длины дуги, на которой можно выбрать точку E для первой ситуации (\( \frac{2\pi r}{3} \)), к общей длине окружности (\( 2\pi r \)):

\[ P(\text{одна общая точка}) = \frac{\frac{2\pi r}{3}}{2\pi r} = \frac{2}{3} \]

б) Вероятность того, что отрезок DE будет иметь ровно две общие точки с треугольником, равна отношению длины дуги, на которой можно выбрать точку E для второй ситуации (\( \frac{\pi r}{3} \)), к общей длине окружности (\( 2\pi r \)):

\[ P(\text{две общие точки}) = \frac{\frac{\pi r}{3}}{2\pi r} = \frac{1}{6} \]

Таким образом, вероятность того, что отрезок DE будет иметь только одну общую точку с треугольником равна \(\frac{2}{3}\), а вероятность того, что отрезок DE будет иметь ровно две общие точки равна \(\frac{1}{6}\).